Warum müssen Sie die trigonometrische Form einer komplexen Zahl finden?

Je nachdem, was Sie mit Ihren komplexen Zahlen tun müssen, kann die trigonometrische Form sehr nützlich oder sehr dornig sein.

Zum Beispiel # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # und # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Lassen Sie uns die beiden trigonometrischen Formen berechnen:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # und # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # und # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # und # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Die trigonometrischen Formen sind also:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Zusatz

Angenommen, Sie möchten berechnen # z_1 + z_2 + z_3 #. Wenn Sie die algebraische Form verwenden, erhalten Sie

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Ziemlich leicht. Versuchen Sie es jetzt mit der trigonometrischen Form …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

es stellt sich heraus, dass der kürzeste Weg, diese beiden Ausdrücke hinzuzufügen, darin besteht, Cosinus und Sinus zu lösen, was bedeutet, sich der algebraischen Form zuzuwenden!

Die algebraische Form ist beim Hinzufügen komplexer Zahlen oft die beste Wahl.

Multiplikation

Jetzt versuchen wir zu berechnen # z_1 * z_2 * z_3 #. Die Verwendung algebraischer Formulare erfordert viele ärgerliche Berechnungen. Die Lösung dieses Produkts mit den trigonometrischen Formen ist jedoch einfacher:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2) / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Die Zutaten, um zu beweisen, dass die zweite Gleichheit gilt, stammen von der Trigonometrie: den beiden Zusatzformeln

#sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Die Multiplikation komplexer Zahlen ist in exponentieller Form noch sauberer (aber konzeptionell nicht einfacher).

In gewissem Sinne ist die trigonometrische Form eine Art Zwischenform zwischen der algebraischen und der exponentiellen Form. Die trigonometrische Form ist der Weg, um zwischen diesen beiden zu wechseln. In diesem Sinne ist es eine Art "Wörterbuch", um Formulare zu "übersetzen".