Was ist die GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Antworten:

Der größte gemeinsame Teiler von #2^32-2^24+2^16-2^8+1# und #2^8+1# ist #1#

Erläuterung:

Beachten Sie, dass:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

ist eine Primzahl - in der Tat eine der wenigen bekannten Fermat-Primzahlen.

Also die einzigen möglichen gemeinsamen Faktoren von #2^8+1# und #2^32-2^24+2^16-2^8+1# sind #1# und #257#.

Wie Sie jedoch in der Frage festgestellt haben:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

hat die Form:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Der eine Faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # von #2^40+1# entspricht der fünften Wurzel der Einheit und # (x + y) # ist nicht automatisch ein Faktor des verbleibenden Quartals # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # deren andere lineare Faktoren sind alle nicht real komplex.

Wir können manuell teilen # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # durch # x + y # um einen Polynomrest zu erhalten und dann zu ersetzen # x = 2 ^ 8 # und # y = 1 # um zu prüfen, dass dies kein Sonderfall ist …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Der Rest ist also:

# 5y ^ 4 = 5 (Farbe (blau) (1)) ^ 4 = 5 #

Da der Rest nicht Null ist, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# und #2^8+1# haben keinen gemeinsamen Faktor größer als #1#.