Wenn möglich, suchen Sie eine Funktion f so, dass grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Antworten:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Erläuterung:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

#"Jetzt nimm"#

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Dann haben wir ein und dasselbe f, das die Bedingungen erfüllt." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Antworten:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Erläuterung:

Wir haben eine schlechte Notation in der Frage, da der del-Operator (oder der Gradientenoperator) ein Vektordifferenzoperator ist.

Wir suchen eine Funktion #f (x, y) # so dass:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Woher #bb (grad) # ist der Gradientenoperator:

# "grad" f = bb (grad) f = (partielles f) / (partielles x) bb (ul hati) + (partielles f) / (partielles x) bb (ulhatj) = << f_x, f_y> > #

Von dem wir das verlangen:

# f_x = (partielles f) / (partielles x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. EIN

# f_y = (partielles f) / (partielles y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Wenn wir A wrt integrieren # x #während der Behandlung # y # als Konstante erhalten wir:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Wenn wir B wrt integrieren # y #während der Behandlung # x # als Konstante erhalten wir:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Woher #u (y) # ist eine beliebige Funktion von # y # allein und #v (x) # ist eine beliebige Funktion von # x # allein.

Diese Funktionen müssen natürlich identisch sein, daher haben wir:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Und so wählen wir #v (x) = x ^ 4 # und #u (y) = y ^ 6 #, die uns unsere Lösung gibt:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Wir können die Lösung leicht bestätigen, indem wir die partiellen Ableitungen berechnen:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED