Sei f (x) = x-1. 1) Stellen Sie sicher, dass f (x) weder gerade noch ungerade ist. 2) Kann f (x) als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion geschrieben werden? a) Wenn ja, zeigen Sie eine Lösung. Gibt es mehr Lösungen? b) Falls nicht, beweisen Sie, dass dies unmöglich ist.

Lassen #f (x) = | x -1 | #.

Wenn f gerade wäre, dann #f (-x) # wäre gleich #f (x) # für alle x.

Wenn f ungerade wäre, dann #f (-x) # wäre gleich # -f (x) # für alle x.

Beachten Sie, dass für x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Da 0 nicht gleich 2 oder -2 ist, ist f weder gerade noch ungerade.

Könnte f als geschrieben werden #g (x) + h (x) #, wo g gerade ist und h ungerade ist?

Wenn das wahr wäre, dann #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Nennen Sie diese Anweisung 1.

Ersetzen Sie x durch -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Da g gerade ist und h ungerade ist, haben wir:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Nennen Sie diese Aussage 2.

Wenn wir die Aussagen 1 und 2 zusammenstellen, sehen wir das

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

FÜGEN SIE DIESE zu erhalten

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Dies ist in der Tat sogar da #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Aus Aussage 1

# (| - x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Das ist in der Tat merkwürdig, da

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.