Wenn Sie mit einem einzelnen Würfel würfeln, wie viele Walzen werden erwartet, um jede Zahl einmal zu würfeln?

Antworten:

# 14.7 "Rollen" #

Erläuterung:

#P "Alle Zahlen geworfen" = 1 - P "1,2,3,4,5 oder 6 nicht geworfen" #

#P "A oder B oder C oder D oder E oder F" = P A + P B + … + P F - #

#P A und B - P A und C …. + P A und B und C + … #

# "Hier ist das" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6-1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Das Negative ist unsere Wahrscheinlichkeit." #

#sum n * a ^ (n-1) = Summe (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) Summe a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = Summe n * P "alle nach n Würfen geworfenen Zahlen" #

# = Summe n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Wir müssen eins wegen der Anfangsbedingung P_1 (0) subtrahieren" #

# "gibt einen fehlerhaften Wert P = 1 für n = 1 an." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Antworten:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Erläuterung:

Stellen Sie sich sechs Minispiele vor. Für jedes Spiel würfeln wir, bis eine Zahl gewürfelt wird, die noch nicht gewürfelt wurde - was wir als "Gewinn" bezeichnen. Dann beginnen wir das nächste Spiel.

Lassen # X # die Anzahl der Würfe sein, die erforderlich ist, um jede Zahl mindestens einmal zu würfeln (d. h. alle 6 Minispiele zu gewinnen), und lassen # X_i # Die Anzahl der Würfel, die benötigt werden, um die Minispielnummer zu "gewinnen" #ich# (zum #ich# von 1 bis 6). Dann jeder # X_i # ist eine geometrische Zufallsvariable mit Verteilung # "Geo" (p_i) #.

Der erwartete Wert jeder geometrischen Zufallsvariablen ist # 1 / p_i #.

Für das erste Spiel # p_1 = 6/6 # da alle 6 Ergebnisse "neu" sind. Somit, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Für das zweite Spiel sind 5 der 6 Ergebnisse neu # p_2 = 5/6 #. Somit, # E (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Für das dritte Spiel sind 4 der 6 möglichen Würfe neu # p_3 = 4/6 #bedeutung # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

An diesem Punkt können wir ein Muster sehen. Da die Anzahl der "Gewinnen" für jedes neue Spiel um 1 abnimmt, verringert sich die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Spiel "gewonnen" wird #6/6# zu #5/6#, dann #4/6#usw., was bedeutet, dass die erwartete Anzahl an Würfeln pro Spiel abhängt #6/6# zu #6/5#zu #6/4#und so weiter bis zum letzten Spiel, wo wir erwarten, dass es 6 Würfe braucht, um die letzte Zahl zu erhalten.

Somit:

# E (X) = E (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#Farbe (weiß) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#Farbe (weiß) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#Farbe (weiß) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (weiß) ("E" (X)) = 14.7 #