Was sind die absoluten Extrema von f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) in [2,9]?

Antworten:

Das absolute Minimum ist # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# was passiert wann # x = 9 #.

Das absolute Maximum ist # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # was passiert wann # x = 2 #.

Erläuterung:

Die absoluten Extrema einer Funktion sind die größten und kleinsten y-Werte der Funktion in einem bestimmten Bereich. Diese Domäne kann uns (wie bei diesem Problem) zugewiesen werden, oder es kann sich um die Domäne der Funktion selbst handeln. Selbst wenn wir die Domäne erhalten, müssen wir die Domäne der Funktion selbst in Betracht ziehen, falls sie Werte der angegebenen Domäne ausschließt.

#f (x) # enthält den Exponenten #1/3#, das ist keine ganze Zahl. Zum Glück ist die Domäne von #p (x) = root3 (x) # ist # (- oo, oo) # diese Tatsache ist also kein Thema.

Wir müssen jedoch noch die Tatsache berücksichtigen, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann. Der Nenner wird gleich Null sein #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Keiner dieser Werte liegt im angegebenen Bereich von #2,9#.

Also wenden wir uns dem absoluten Extremwert zu #2,9#. Absolute Extrema treten an Endpunkten der Domäne oder an lokalen Extremen auf, dh an Punkten, an denen die Funktion ihre Richtung ändert. Lokale Extrema treten an kritischen Punkten auf, bei denen es sich um Punkte in der Domäne handelt, an denen die Ableitung gleich ist #0# oder existiert nicht. Also müssen wir die Ableitung finden. Verwenden der Quotientenregel:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) - 54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Wenn wir das berücksichtigen # -3x ^ (- 2/3) # aus dem Zähler haben wir:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Es gibt keine Werte von # x # auf #2,9# woher #f '(x) # ist nicht vorhanden. Es gibt auch keine Werte an #2,9# woher #f '(x) = 0 #. Daher gibt es keine kritischen Punkte in der angegebenen Domäne.

Mit dem "Kandidatentest" finden wir die Werte von #f (x) # an den Endpunkten. #f (2) = (9 * Wurzel3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * Wurzel3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Ein kurzer Blick auf unsere Rechner zeigt:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absolutes Maximum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolutes Minimum)