Wenn ein Stein in einer Höhe von 174,9 m aus einem Hubschrauber, der mit einer Geschwindigkeit von 20,68 m / s aufsteigt, abgeworfen wird, wie lange dauert es, bis der Stein den Boden erreicht?

Antworten:

8,45 Sekunden.

Erläuterung:

Die Richtung von 'g' beim Beschleunigen hängt von dem von uns definierten Koordinatensystem ab. Wenn Sie beispielsweise als positives "y" nach unten definieren, wäre g positiv. Konvention ist nach oben als positiv zu nehmen, so dass g negativ sein wird. Das wollen wir nutzen, auch als Boden #y = 0 #

#color (rot) ("EDIT:") # Ich habe einen Ansatz hinzugefügt, der die kinematischen Gleichungen verwendet, die Sie unten bereits lernen. Alles, was ich hier getan habe, ist, diese mit Kalkül abzuleiten, aber ich schätze, dass Sie es vielleicht nicht behandelt haben.Scrollen Sie nach unten zum roten Titel für den Nicht-Kalkül-Ansatz.

Wir können dies viel genauer betrachten, indem wir mit dem zweiten Newtonschen Gesetz von vorne beginnen. Wenn der Stein fallen gelassen wird, hat er eine Anfangsgeschwindigkeit, aber die einzige Kraft, die auf ihn wirkt, ist auf die Schwerkraft zurückzuführen. Wir haben nach oben als positive y-Richtung definiert, so dass wir nach Newtons zweitem Gesetz schreiben können

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Dies liegt daran, dass der Stein zur Erde hin beschleunigt, die wir als negative Richtung definiert haben.

Die Integration dieses Ausdrucks ergibt:

# (dy) / (dt) = -gt + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # ist die Geschwindigkeit des Steins, also wenn wir die Anfangsgeschwindigkeit bei anwenden #y '(0) = + 20,68 # wir kommen an

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20,68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Dies modelliert die Geschwindigkeit und ist sinnvoll, wenn Sie darüber nachdenken. Wenn es losgelassen wird, hat es die gleiche Geschwindigkeit wie der Hubschrauber und bewegt sich somit eine Zeit lang nach oben, aber mit der Zeit stoppt es und fällt dann ab.

Um Verschiebung zu finden, integrieren wir erneut:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Anfangszustand anwenden #y (0) = 174,9 #

# 174,9 = 20,68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174,9 #

# also y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Um nach der Zeit zu suchen, um den Boden zu erreichen, stellen Sie ein # y = 0 # und löse das Quadrat:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Dies ist definitiv ein Job für die quadratische Formel:

#t = (20,68 + - qrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9))) / g #

Nehmen #g = 9,8 ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 oder -4.23 #

Wir verwerfen die negative Lösung, daher benötigt der Stein 8,45 Sekunden, um den Boden zu treffen.

#color (rot) ("Kein Kalkülansatz") #

Wir wissen das #v = v_0 + um # woher # v # ist die Endgeschwindigkeit, # v_0 # ist die Anfangsgeschwindigkeit, #ein# ist Beschleunigung und # t # ist die Zeit, für die es beantragt wird.

Wie ich schon sagte, mit einem nach oben gerichteten Koordinatensystem #G# wird negativ sein, aber der Stein bewegt sich anfangs aufgrund seiner Anfangsgeschwindigkeit nach oben. Wir möchten den Punkt finden, an dem es aufhört, sich nach oben zu bewegen:

einstellen #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#ohne t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Jetzt benutzen

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # wieder mit #a = -g #

so #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21.8m #

Dies bedeutet, dass der Stein kurz anhält #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196.7m #

Jetzt haben wir keine lästigen Anfangsgeschwindigkeiten, nur mit einem geraden Sturz aus dieser Höhe:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Da nach oben positiv ist, führt das Fallen zu einer negativen Verschiebung

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # nach Bedarf.

Antworten:

8,45 s

Erläuterung:

Der Hubschrauber tritt mit einer Geschwindigkeit auf # u = 20,68m / s # Der Stein, der von ihm heruntergefallen ist, hat also dieselbe Anfangsgeschwindigkeit wie die aufsteigende Geschwindigkeit des Hubschraubers, aber die abfallende Gravitationskraft wird ihm eine Abwärtsbeschleunigung (g) verleihen.

In Anbetracht der Tatsache, dass der Stein vom Ursprung des Hubschraubers abgesetzt wurde, gehen wir wie folgt vor

Ob nach oben Anfangsgeschwindigkeit genommen werden positiv dann Abwärtsbeschleunigung (g) sollte als genommen werden Negativ und Verschiebung nach unten (h) sollte auch berücksichtigt werden Negativ.

#color (rot) ("Hier aufwärts + ve und abwärts -ve") #

Nun Berechnung der Zeit (t) des Erreichens des Bodens

Also haben wir

# u = + 20,68m / s #

# g = -9.8m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? #

Einfügen dieser in Bewegungsgleichung unter der Schwerkraft (umfassend die Variablen h, u, g, t) wir bekommen

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20,68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => t = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8.45s #

Die gleiche Gleichung (1) wird erhalten, wenn wir die Richtung umkehren#color (rot) ("also aufwärts und abwärts + ive.") #

Ein Stein fällt aus einem Ballon, der bei 14,7 ms ^ -1 absteigt, wenn sich der Ballon in einer Höhe von 49 m befindet. Wie lange dauert es, bis der Stein den Boden berührt?

"2 Sekunden" h = h_0 + v_0 * t - g * t ^ 2/2 h = 0 "(wenn der Stein den Boden berührt, ist die Höhe Null)" h_0 = 49 v_0 = -14,7 g = 9,8 => 0 = 49 - 14,7 * t - 4,9 * t ^ 2 => 4,9 * t ^ 2 + 14,7 * t - 49 = 0 "Dies ist eine quadratische Gleichung mit Diskriminanten:" 14,7 ^ 2 + 4 * 4,9 * 49 = 1176,49 = 34,3 ^ 2 = > t = (-14.7 pm 34.3) /9.8 "Wir müssen die Lösung mit + Vorzeichen als t> 0" => t = 19.6 / 9.8 = 2 h = "Höhe in Meter (m)" h_0 = "Ausgangshöhe nehmen in Meter (m) "v_0 =" vertikale Anfangsgeschwindigkeit in m

Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von 10.000 cm3 / min aus einem umgekehrten konischen Tank aus, während Wasser mit einer konstanten Rate in den Tank gepumpt wird, wenn der Tank eine Höhe von 6 m hat und der Durchmesser an der Spitze 4 m beträgt Wenn der Wasserstand bei einer Höhe von 2 m um 20 cm / min ansteigt, wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank gepumpt wird?

Sei V das Volumen des Wassers in dem Tank in cm 3; h sei die Tiefe / Höhe des Wassers in cm; und sei r der Radius der Wasseroberfläche (oben) in cm. Da der Tank ein umgekehrter Kegel ist, ist dies auch die Wassermasse. Da der Tank eine Höhe von 6 m und einen Radius am oberen Rand von 2 m hat, implizieren ähnliche Dreiecke, dass frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 ist, so dass h = 3r ist. Das Volumen des umgekehrten Wasserkegels ist dann V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Unterscheiden Sie nun beide Seiten bezüglich der Zeit t (in Minuten), um frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} z

Ein Körper wird von der Oberseite einer geneigten Ebene Theta freigegeben. Sie erreicht den Boden mit der Geschwindigkeit V. Wenn die Länge gleich bleibt, wird der Neigungswinkel verdoppelt. Welche Geschwindigkeit wird der Körper haben und den Boden erreichen?

V_1 = sqrt (4 * H * g Costheta sei die Höhe der Steigung anfangs H und die Länge der Steigung sei l, und sei Theta der Anfangswinkel. Die Abbildung zeigt das Energiediagramm an den verschiedenen Punkten der dortigen schiefen Ebene für Sintheta = H / l .............. (i) und die Costheta = sqrt (l ^ 2-H ^ 2) / l ........... .. (ii), aber nach Änderung des neuen Winkels ist (theta _ @) = 2 * theta LetH_1 ist die neue Höhe des Dreiecks. sin2theta = 2sinthetacostheta = h_1 / l [da sich die Länge der Schräge noch nicht geändert hat.] using ( i) und (ii) erhalten wir die neue Höhe als