Kann eine Funktion in einer bestimmten Domäne kontinuierlich und nicht unterscheidbar sein?

Antworten:

Ja.

Erläuterung:

Eines der auffälligsten Beispiele dafür ist die von Karl Weierstrass entdeckte Weierstraß-Funktion, die er in seiner Originalarbeit als:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

woher # 0 <a <1 #, # b # ist eine positive ungerade ganze Zahl und #ab> (3pi + 2) / 2 #

Dies ist eine sehr spitze Funktion, die überall in der Real-Linie kontinuierlich ist, aber nirgends differenzierbar ist.

Antworten:

Ja, wenn der Punkt "gebogen" ist. Ein Beispiel ist #f (x) = | x | # beim # x_0 = 0 #

Erläuterung:

Dauerfunktion bedeutet praktisch, es zu zeichnen, ohne den Stift vom Papier zu nehmen. Mathematisch bedeutet das für jeden # x_0 # die Werte von #f (x_0) # wie sie mit unendlich klein angesprochen werden # dx # von links und rechts muss gleich sein:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

wobei das Minuszeichen bedeutet, von links zu nähern, und Pluszeichen bedeutet, dass es sich von rechts nähert.

Differenzierbare Funktion bedeutet praktisch eine Funktion, die ihre Steigung stetig ändert (NICHT mit einer konstanten Rate). Daher bedeutet eine Funktion, die an einem bestimmten Punkt nicht unterscheidbar ist, praktisch, dass sie ihre Neigung von links nach rechts abrupt ändert.

Lassen Sie uns 2 Funktionen sehen.

#f (x) = x ^ 2 # beim # x_0 = 2 #

Graph

Graph {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafik (vergrößert)

Graph {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Seit um # x_0 = 2 # Das Diagramm kann erstellt werden, ohne den Stift vom Papier abzunehmen. Die Funktion ist an diesem Punkt kontinuierlich. Da es an diesem Punkt nicht gebogen ist, ist es auch differenzierbar.

#g (x) = | x | # beim # x_0 = 0 #

Graph

Graph {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

Beim # x_0 = 0 # Die Funktion ist kontinuierlich, da sie gezeichnet werden kann, ohne den Stift vom Papier abzunehmen. Da sie sich an diesem Punkt jedoch verbiegt, ist die Funktion nicht differenzierbar.