Sei f eine Funktion damit (unten). Welches muss wahr sein? I. f ist kontinuierlich bei x = 2 II. f ist bei x = 2 III unterscheidbar. Die Ableitung von f ist kontinuierlich bei x = 2 (A) I (B) II (C) I und II (D) I & III (E) II & III

Antworten:

(C)

Erläuterung:

Feststellen, dass eine Funktion # f # ist an einem Punkt differenzierbar # x_0 # ob

#lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L #

Die gegebenen Informationen sind effektiv das # f # ist an differenzierbar #2# und das #f '(2) = 5 #.

Betrachten wir nun die Aussagen:

Ich: Stimmt

Die Unterscheidbarkeit einer Funktion an einem Punkt impliziert ihre Kontinuität an diesem Punkt.

II: Richtig

Die Angaben entsprechen der Definition der Differenzierbarkeit bei # x = 2 #.

III: falsch

Die Ableitung einer Funktion ist nicht notwendigerweise kontinuierlich, ein klassisches Beispiel #g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) wenn x! = 0), (0 wenn x = 0):} #, was an differenzierbar ist #0#, deren Derivat jedoch eine Diskontinuität aufweist #0#.

Der Graph der Funktion f (x) = (x + 2) (x + 6) ist unten gezeigt. Welche Aussage zur Funktion trifft zu? Die Funktion ist für alle reellen Werte von x mit x> -4 positiv. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x negativ, wobei –6 <x <–2 ist.

Die Funktion ist für alle reellen Werte von x negativ, wobei –6 <x <–2 ist.

Sie wählen zwischen zwei Gesundheitsclubs. Club A bietet eine Mitgliedschaft für eine Gebühr von 40 USD sowie eine monatliche Gebühr von 25 USD an. Club B bietet eine Mitgliedschaft für eine Gebühr von 15 USD sowie eine monatliche Gebühr von 30 USD an. Nach wie vielen Monaten werden die Gesamtkosten in jedem Fitnessstudio gleich sein?

X = 5, also wären die Kosten nach fünf Monaten gleich. Sie müssten für jeden Club Gleichungen für den Preis pro Monat schreiben. Sei x gleich der Anzahl der Monate der Mitgliedschaft und y gleich den Gesamtkosten. Club A ist y = 25x + 40 und Club B ist y = 30x + 15. Da wir wissen, dass die Preise y gleich wären, können wir die beiden Gleichungen gleich setzen. 25x + 40 = 30x + 15. Wir können jetzt nach x auflösen, indem wir die Variable isolieren. 25x + 25 = 30x. 25 = 5x. 5 = x Nach fünf Monaten wären die Gesamtkosten gleich.

Kann eine Funktion in einer bestimmten Domäne kontinuierlich und nicht unterscheidbar sein?

Ja. Eines der auffälligsten Beispiele hierfür ist die von Karl Weierstrass entdeckte Weierstraß-Funktion, die er in seinem Originalartikel als: sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) mit 0 <a <definiert 1, b ist eine positive ungerade ganze Zahl und ab> (3pi + 2) / 2 Dies ist eine sehr spitze Funktion, die überall auf der reellen Linie stetig ist, aber nirgends differenzierbar ist.