Die vierte Potenz der gemeinsamen Differenz einer arithmetischen Progression besteht darin, dass ganzzahlige Einträge zum Produkt von vier aufeinanderfolgenden Termen addiert werden. Beweisen Sie, dass die resultierende Summe das Quadrat einer ganzen Zahl ist?

Der gemeinsame Unterschied eines AP von ganzen Zahlen sei gegeben # 2d #.

Vier aufeinanderfolgende Ausdrücke des Fortschritts können als dargestellt werden # a-3d, a-d, a + d und a + 3d #, woher #ein# ist eine ganze Zahl.

Also die Summe der Produkte dieser vier Terme und der vierten Potenz der gemeinsamen Differenz # (2d) ^ 4 # wird sein

# = Farbe (blau) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + Farbe (rot) ((2d) ^ 4) #

# = Farbe (blau) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + Farbe (rot) (16d ^ 4) #

# = Farbe (blau) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + Farbe (rot) (16d ^ 4) #

# = Farbe (grün) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = Farbe (grün) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, das ist ein perfekter Platz.