Sei P (x_1, y_1) ein Punkt und sei l die Linie mit Gleichung ax + durch + c = 0.Die Entfernung d von P-> l ist gegeben durch: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P (6,7) von der Linie l mit der Gleichung 3x + 4y = 11?

Antworten:

#d = 7 #

Erläuterung:

Lassen # l-> a x + b y + c = 0 # und # p_1 = (x_1, y_1) # ein Punkt nicht auf # l #.

Angenommen das #b ne 0 # und anrufen # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # nach dem Ersetzen #y = - (a x + c) / b # in # d ^ 2 # wir haben

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. Der nächste Schritt ist das Finden der # d ^ 2 # Minimum bezüglich # x # also werden wir finden # x # so dass

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Dies geschieht für

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Setzen Sie nun diesen Wert in ein # d ^ 2 # wir erhalten

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # so

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Jetzt gegeben

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # und # p_1 = (6,7) # dann

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #