Was ist die Ableitung von x ^ n?

Für die Funktion #f (x) = x ^ n #n sollte nicht gleich 0, aus Gründen, die klar werden. n sollte auch eine ganze Zahl oder eine rationale Zahl sein (d. h. ein Bruch).

Die Regel lautet:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Mit anderen Worten "leihen" wir uns die Potenz von x, machen sie zum Koeffizienten der Ableitung und ziehen dann 1 von der Potenz ab.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Wie bereits erwähnt, ist der Sonderfall n = 0. Das bedeutet, dass

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Wir können unsere Regel verwenden und technisch Holen Sie sich die richtige Antwort:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Später auf der Spur werden wir jedoch auf Komplikationen stoßen, wenn wir versuchen, die Umkehrung dieser Regel zu verwenden.

Antworten:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Im Folgenden sind die Beweise für jede Zahl aufgeführt, aber nur der Beweis für alle ganzen Zahlen verwendet die Grundfähigkeiten der Ableitung von Derivaten. Der Beweis für alle Rationalen verwendet die Kettenregel und für Irrationale die implizite Differenzierung.

Erläuterung:

Davon abgesehen, zeige ich sie alle hier, damit Sie den Prozess verstehen können. Hüte dich vor dem #werden# ziemlich lang sein

Von #y = x ^ (n) #, ob #n = 0 # wir haben #y = 1 # und die Ableitung einer Konstante ist immer Null.

Ob # n # ist eine andere positive ganze Zahl, die wir in die Ableitungsformel werfen können und den Binomialsatz verwenden können, um das Chaos zu lösen.

#y = lim_ (harr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (harr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Woher # K_i # ist die passende Konstante

#y = lim_ (harr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Das teilen # h #

#y = lim_ (harr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Wir können den ersten Begriff aus der Summe herausnehmen

#y = lim_ (harr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Wenn man das Limit nimmt, geht alles andere in der Summe auf Null. Berechnung # K_1 # wir sehen, dass es gleich ist # n #, so

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Zum # n # Das sind negative ganze Zahlen, es ist etwas komplizierter. Wissend, dass # x ^ -n = 1 / x ^ b #, so dass #b = -n # und ist daher positiv.

#y = lim_ (harr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (harr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (harr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (harr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Nimm das erste Semester heraus

#y = lim_ (harr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Nehmen Sie die Grenze, wo # K_1 = b #, das wieder zu subventionieren # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Für Rationals müssen wir die Kettenregel verwenden. I.e.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Also das zu wissen # x ^ (1 / n) = Wurzel (n) (x) # und vorausgesetzt #n = 1 / b # wir haben

# (x ^ n) ^ b = x #

Ob # b # ist gerade, die antwort ist technisch # | x | # Dies ist jedoch nahe genug für unsere Zwecke

Also verwenden wir die Kettenregel, die wir haben

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Und nicht zuletzt können wir die implizite Differenzierung für alle reellen Zahlen einschließlich der irrationalen Zahlen beweisen.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #