Was ist die Ableitung von x ^ x?

Antworten:

# dy / dx = x ^ x (In (x) + 1) #

Erläuterung:

Wir haben:

# y = x ^ x # Nehmen wir das natürliche Protokoll auf beiden Seiten.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Mit der Tatsache, dass #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Sich bewerben # d / dx # auf beiden Seiten.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

Die Kettenregel:

Ob #f (x) = g (h (x)) #, dann #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Leistungsregel:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # ob # n # ist eine Konstante.

Ebenfalls, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Zuletzt die Produktregel:

Ob #f (x) = g (x) * h (x) #, dann #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Wir haben:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * In (x) + x * d / dx (In (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Mach dir keine Sorgen, wann # x = 0 #, da #ln (0) # ist nicht definiert)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Jetzt seit # y = x ^ x # können wir ersetzen # y #.

# => dy / dx = x ^ x (In (x) + 1) #