Wie vereinfache ich (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Antworten:

# cos ^ 5x #

Erläuterung:

Diese Art von Problem ist wirklich nicht so schlimm, wenn Sie erkennen, dass es sich um eine kleine Algebra handelt!

Zuerst schreibe ich den angegebenen Ausdruck um, um die folgenden Schritte verständlicher zu machen. Wir wissen das # sin ^ 2x # ist nur eine einfachere Art zu schreiben # (sin x) ^ 2 #. Ähnlich, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Wir können jetzt den ursprünglichen Ausdruck neu schreiben.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Hier ist der Teil mit Algebra. Lassen #sin x = a #. Wir können schreiben # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # wie

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Kommt Ihnen das bekannt vor? Wir müssen das nur berücksichtigen! Dies ist ein perfektes quadratisches Trinom. Schon seit # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, Wir können sagen

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Wechseln Sie jetzt wieder zur ursprünglichen Situation. Ersetzen #sin x # zum #ein#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (Farbe (blau) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Wir können jetzt eine trigonometrische Identität verwenden, um die blauen Begriffe zu vereinfachen. Die Identität neu anordnen # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, wir bekommen #Farbe (blau) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (Farbe (blau) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Sobald wir dies korrigieren, multiplizieren sich die negativen Vorzeichen, um positiv zu werden.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Somit, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.