Antworten:
Es gibt tatsächlich vier Werte für # x / 2 # auf dem Einheitskreis, also vier Werte für jede Triggerfunktion. Der Hauptwert des halben Winkels ist rund # 2.2 ^ Zirk. #
#cos (1 / 2Text {Arc} Text {Bett} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2Text {Arc} Text {Bett} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2Text {Arc} Text {Bett} 13) = tan 2,2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Bitte lesen Sie die Erklärung für die anderen.
Erläuterung:
Lassen Sie uns zuerst ein wenig über die Antwort sprechen. Es gibt zwei Winkel auf dem Einheitskreis, deren Kotangens ist #13#. Einer ist in der Nähe # 4.4 ^ circ #und ein anderer ist das Plus # 180 ^ circ #, nennen # 184.4 ^ circ #. Jeder von ihnen hat zwei halbe Winkel, die wiederum durch getrennt sind # 180 ^ Zirk. # Der erste hat halbe Winkel # 2.2 ^ circ # und # 182.2 ^ circ #hat der zweite halbe Winkel # 92.2 ^ circ # und # 272.2 ^ circ #Es sind also tatsächlich vier halbe Winkel in Frage, mit unterschiedlichen, aber verwandten Werten für ihre Triggerfunktionen.
Wir verwenden die obigen Winkel als Annäherungen, so dass wir Namen haben.
Winkel mit Kotangens von 13:
#text {Arc} Text {Kinderbett} 13 ca. 4.4 ^ Zirkel #
# 180 ^ circ + Text {Arc} Text {Kinderbett} 13 ca. 184.4 ^ Circ #
Halbe Winkel:
# 1/2 Text {Arc} Text {Kinderbett} 13 ca. 2.2 ^ Zirkel #
# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) ca. 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) ca. 92.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) ca. 272.2 ^ circ #
OK, die Doppelwinkelformeln für Cosinus sind:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
die relevanten Halbwinkelformeln sind also
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))}}
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))}}
Das ist alles vorläufig. Lass uns das Problem machen.
Wir werden zuerst den winzigen Winkel machen, # 2.2 ^ Zirk. # Wir sehen, dass der Rest nur ein Vielfaches von ist # 90 ^ circ # Darüber hinaus können wir ihre Triggerfunktionen aus diesem ersten Blickwinkel erhalten.
Ein Kotangens von 13 ist eine Steigung von #1/13# entspricht also einem rechtwinkligen Dreieck mit gegenüberliegendem #1#nebeneinander #13# und Hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4,4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
Nun wenden wir die Halbwinkelformeln an. Für unseren jugendlichen Winkel im ersten Quadranten wählen wir die positiven Vorzeichen.
#cos (1 / 2Text {Arc} Text {Bett} 13) = cos 2,2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4,4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13}) / sqrt {170})} #
Wir könnten versuchen, die Fraktionen zu vereinfachen und aus dem Radikalen herauszuschieben, aber ich werde es einfach hier lassen.
#sin (1/2 Text {Arc} Text {Bett} 13) = sin 2,2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4,4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13}) / sqrt {170})} #
Der halbe Winkel der Tangente ist der Quotient, aber er ist einfacher zu verwenden
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (1/2-Text {Arc} -Text {Bett} 13) = tan 2,2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
OK, das ist alles der schwierige Teil, aber vergessen wir nicht die anderen Winkel.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Jetzt haben wir die verbleibenden Winkel, die Sinus und Cosinus tauschen und die Zeichen umdrehen. Wir werden die Formulare nur mit Tangente wiederholen.
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92,2 ^ circ = -1 / {tan 2,2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
Puh.
Antworten:
#Farbe (Indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #
#Farbe (Purpur) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #
Erläuterung:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #
# csc ^ 2x = 1 + Kinderbett ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #
Aber wen wissen #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Wann #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0,0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #
Wann #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26,0384) ^ 2) = 1,0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0,9993 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0,9993 / -26,0384 = + -0,0384 #
