Finden Sie den Bereich der schattierten Region?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wenn wir zuerst lernen, Bereiche durch Integration zu finden, nehmen wir repräsentative Rechtecke vertikal.

Die Rechtecke haben eine Basis # dx # (eine kleine Änderung in # x #) und Höhen gleich dem Größeren # y # (der in der oberen Kurve) minus der kleinere # y # Wert (der auf der unteren Kurve). Wir integrieren dann vom kleinsten # x # Wert zum größten # x # Wert.

Für dieses neue Problem könnten wir zwei solcher Intergrale verwenden (Siehe die Antwort von Jim S), aber es ist sehr wertvoll zu lernen, unser Denken zu wenden #90^@#.

Wir werden repräsentative Rechtecke horizontal darstellen.

Die Rechtecke haben Höhe # dy # (eine kleine Änderung in # y #) und Basen gleich dem Größeren # x # (die Kurve ganz rechts) minus der kleinere # x # Wert (der Wert ganz links). Wir integrieren dann vom kleinsten # y # Wert zum größten # y # Wert.

Beachten Sie die Dualität

# {:("vertikal", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), ("oben", iff, "ganz rechts"), ("unten", iff, "ganz links"), (x, iff, y):} #

Der Satz "vom kleinsten # x # Wert zum größten # x # value. "zeigt an, dass wir uns von links nach rechts integrieren. (In Richtung der Erhöhung # x # Werte.)

Der Satz "vom kleinsten # y # Wert zum größten # y # value. "zeigt an, dass wir von unten nach oben integrieren. (In Richtung der Erhöhung # y # Werte.)

Hier ist ein Bild der Region mit einem kleinen Rechteck:

Die Gegend ist

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Antworten:

Fläche der schattierten Region ist # 1m ^ 2 #

Erläuterung:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (können wir aus der Grafik sehen)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (können wir auch aus der Grafik sehen)

Eine von vielen Möglichkeiten, die Fläche des schattierten Bereichs auszudrücken, könnte die Fläche des Dreiecks sein # AhatOB = Ω # ausschließlich der cyan-bereich, den ich anrufen werde #color (cyan) (Ω_3) #

Lassen #Ω_1# sei der schwarze Bereich in der Grafik und #color (grün) (Ω_2) # der grüne Bereich in der Grafik.

Die Fläche des kleinen Dreiecks # ChatAD = # #color (grün) (Ω_2) # wird sein:

• #color (grün) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Die Fläche von #Ω_1# wird sein:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-Quadrat (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Als Ergebnis wird der schattierte Bereich angezeigt

• #Ω_1## + Farbe (grün) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #