Mehr über Mechanik? - Physik 2024

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wir werden die sogenannte Euler-Lagrange-Formulierung verwenden

# d / dt ((partielles L) / (partieller Punkt q_i)) - (partielles L) / (partielles q_i) = Q_i #

woher #L = T-V #. In dieser Übung haben wir # V = 0 # so #L = T #

Berufung # x_a # die Mitte der linken Zylinderkoordinate und # x_b # das Richtige haben wir

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Hier # sinalpha = R / Lsintheta # so ersetzen für #Alpha#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

jetzt ableiten

#dot x_b = Punkt x_a + Rsin (Theta) Punkt Theta - ((R ^ 2cos (Theta) sin (Theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (Theta))) Dot Theta #

aber

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1/2 m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Hier # J # ist das Trägheitsmoment bezüglich des Massenzentrums. Ebenfalls,

# v_a = Punkt x_a = R Punkt Theta #

#omega_a = dot theta #

so nach ersetzungen und aufruf # xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # wir haben

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1 + (1 + sin (Theta) xi (Theta)) ^ 2) Punkt Theta ^ 2 #

Wir haben gewählt # theta # als verallgemeinerte Koordinate. Also werden wir reduzieren # F # Betätigung in der Koordinate # x # zu einer äquivalenten Kraft in # theta #. Diese Koordinate wirkt rollend, so dass wir einen verallgemeinerten Impuls bezüglich des Kontaktpunkts im Boden benötigen

#Q_ (Theta) = FR (1+ sintheta) #

Die Bewegungsgleichungen werden nach erhalten

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) Punkt theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # jetzt lösen für #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Anbei zwei Grundstücke. Die ersten Shows # theta # Evolution und die zweite ist für # dottheta #

Wert der Parameter:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Die aufgebrachte Kraft wird rot dargestellt.

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