Antworten:
Tipp 1: Nehmen Sie an, dass er die Gleichung ist # x ^ 2 + x-u = 0 # mit # u # Eine ganze Zahl hat eine ganzzahlige Lösung # n #. Zeige, dass # u # ist gerade
Erläuterung:
Ob # n # ist eine Lösung die da eine ganze Zahl ist # m # so dass
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Woher #nm = u # und # m-n = 1 #
Aber die zweite Gleichung bringt das mit sich #m = n + 1 #
Jetzt beide # m # und # n # sind ganze Zahlen, also eine von # n #, # n + 1 # ist eben und #nm = u # ist gerade
Vorschlag
Ob # u # ist eine ungerade ganze Zahl, dann die Gleichung # x ^ 2 + x - u = 0 # hat keine Lösung, die eine ganze Zahl ist.
Beweis
Angenommen, es gibt eine ganzzahlige Lösung # m # der Gleichung:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
woher # u # ist eine ungerade ganze Zahl. Wir müssen die zwei möglichen Fälle untersuchen:
# m # ist ungerade; oder
# m # ist gerade
Lassen Sie uns zunächst den Fall betrachten, in dem # m # ist ungerade, dann existiert eine ganze Zahl # k # so dass:
# m = 2k + 1 #
Jetzt seit # m # ist eine Wurzel unserer Gleichung, muss es sein:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Und wir haben einen Widerspruch # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # ist sogar, aber # u # ist ungerade.
Lassen Sie uns als Nächstes den Fall betrachten, in dem # m # ist gerade, dann existiert eine ganze Zahl # k # so dass:
# m = 2k #
Ebenso seit # m # ist eine Wurzel unserer Gleichung, muss es sein:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Und wieder haben wir einen Widerspruch als # 2 (2k ^ 2 + k) # ist sogar, aber # u # ist ungerade.
Wir haben also bewiesen, dass es keine ganzzahlige Lösung der Gleichung gibt # x ^ 2 + x - u = 0 # woher # u # ist eine ungerade ganze Zahl.
Daher ist der Satz bewiesen. QED
Antworten:
Siehe unten.
Erläuterung:
Ob # x ^ 2 + x-u = 0 # dann
#x (x + 1) = u # dann wenn # x # ist eine ganze Zahl, #x (x + 1) # ist sogar ein Widerspruch, weil # u # durch die Hypothese ist ungerade.
