Was ist der Unterschied zwischen einem Gegengift und einem Integral?

Es gibt keine Unterschiede, die beiden Wörter sind gleichbedeutend.

Das hängt von ein paar Dingen ab. Welches Gegenmittel, das Allgemeine oder ein bestimmtes? Welches Integral ist bestimmt oder unbestimmt? Und wen fragen wir?

Allgemeines Antiderivatives und Unbestimmtes Integral:

Viele Mathematiker unterscheiden nicht das unbestimmte Integral und das allgemeine Gegengift. In beiden Fällen für die Funktion # f # die Antwort ist #F (x) + C # woher #F '(x) = f (x) #..

Einige (zum Beispiel der Schulbuchautor James Stewart) unterscheiden. Was Stewart als "das allgemeinste" Gegenmittel bezeichnet # f #, gibt bei jeder Abweichung von # f #. Zum Beispiel würde er antworten, dass das allgemeinste Gegenmittel von # 1 / x ^ 2 # ist eine stückweise definierte Funktion:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # zum #x <0 # und # (- 1) / x + C_2 # zum #x> 0 #.

Das unbestimmte Integral von # f #In dieser Behandlung ist es immer ein Antiderivat auf eine bestimmte Zeitspanne # f # ist kontinuierlich.

So #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, wenn es verstanden wird, dass die Domäne auf eine Teilmenge entweder der positiven oder einer Teilmenge der negativen Realen beschränkt ist.

Besondere Antiderivate

Ein besonderes Gegenmittel von # f # ist eine Funktion # F # (anstatt einer Familie von Funktionen) für die #F '(x) = f (x) #.

Zum Beispiel:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # zum #x <0 # und # (- 1) / x + 1 # zum #x> 0 #.

ist ein besonderes Mittel gegen #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Und:

#G (x) = (- 1) / x-3 # zum #x <0 # und # (- 1) / x + 6 # zum #x> 0 #.

ist ein anderes besonderes Mittel gegen #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Bestimmte Integrale

Das definitive Integral von # f # von #ein# zu # b # ist keine Funktion. Es ist eine Zahl.

Zum Beispiel:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Um die Sache noch komplizierter zu machen, kann dieses bestimmte Integral gefunden werden, indem der grundlegende Satz von Kalkül, Teil 2 verwendet wird, indem zuerst das / ein unbestimmtes Integral / allgemeines Gegenmittel gefunden wird und dann eine bestimmte Methode ausgeführt wird.)

Ihre Frage bezieht sich auf das, was wirklich die "Schlüsseleinsicht" in der Kalkülentwicklung von Isaac Newton und Gottfried Leibniz war.

Diese Einsicht, die sich auf Funktionen konzentriert, die niemals negativ sind, kann wie folgt formuliert werden: "Antiderivate können verwendet werden finden Flächen (Integrale) und Bereiche (Integrale) können verwendet werden definieren Antiderivate ". Dies ist die Essenz des Fundamentalsatzes der Analysis.

Ohne sich um Riemann-Summen zu sorgen (schließlich lebte Bernhard Riemann ohnehin fast 200 Jahre nach Newton und Leibniz) und nahm die Vorstellung von Gebiet als intuitives (undefiniertes) Konzept für eine durchgehende nicht negative Funktion #f (x) geq 0 # für alle # x # mit #a leq x leq b #Denken Sie nur an das definitive Integralsymbol # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # als Darstellung der Fläche unter der Grafik von # f # und über dem # x #-Achse zwischen # x = a # und # x = b #. Wenn eine andere Funktion # F # kann so gefunden werden #F '(x) = f (x) # für alle #a leq x leq b #, dann # F # wird als ein Gegenmittel von genannt # f # über das Intervall # a, b # und der Unterschied #F (b) -F (a) # entspricht dem Wert des bestimmten Integrals. Das ist, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Diese Tatsache ist nützlich für finden der Wert eines bestimmten Integrals (Fläche), wenn eine Formel für ein Gegenmittel gefunden werden kann.

Umgekehrt, wenn wir die Obergrenze des Integralsymbols zu einer Variablen machen, nennen Sie sie # t #und definieren Sie eine Funktion # F # durch die Formel #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (so #F (t) # ist wirklich der Bereich unter der Grafik von # f # zwischen # x = a # und # x = t #vorausgesetzt #a leq t leq b #), dann diese neue Funktion # F # ist gut definiert, differenzierbar und #F '(t) = f (t) # für alle zahlen # t # zwischen #ein# und # b #. Wir haben ein Integral zu verwendet definieren ein Gegenmittel von # f #. Diese Tatsache ist nützlich für die Annäherung der Werte eines Antiderivats, wenn keine Formel dafür gefunden werden kann (unter Verwendung numerischer Integrationsmethoden wie der Simpson-Regel). Zum Beispiel wird es ständig von Statistikern verwendet, wenn Sie Bereiche unter der Normalkurve approximieren. Die Werte eines speziellen Antiderivats der Norm-Normalkurve werden häufig in einer Tabelle in Statistikbüchern angegeben.

In dem Fall wo # f # negative Werte aufweist, muss das definitive Integral als "vorzeichenbehaftete Bereiche" betrachtet werden.