Beweisen Sie, dass die violett schattierte Fläche gleich der Inkreisfläche des gleichseitigen Dreiecks ist (gelb gestreifter Kreis)?

Antworten:

Erläuterung:

Der Bereich des Inkreises ist # pir ^ 2 #.

Beachten Sie das rechtwinklige Dreieck mit Hypotenuse # R # und Bein # r # an der Basis des gleichseitigen Dreiecks durch Trigonometrie oder die Eigenschaften von #30 -60 -90 # rechtwinklige Dreiecke können wir die Beziehung herstellen # R = 2r #.

Beachten Sie, dass der Winkel gegenüberliegt # r # ist #30 # seit dem gleichseitigen Dreieck #60 # Winkel wurde halbiert.

Dasselbe Dreieck kann durch den Satz des Pythagoras gelöst werden, um zu zeigen, dass die Hälfte der Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks ist #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Wenn wir nun die Hälfte des gleichseitigen Dreiecks als rechtwinkliges Dreieck untersuchen, sehen wir die Höhe # h # des gleichseitigen Dreiecks kann in Bezug auf gelöst werden # r # die Beziehung nutzen #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Schon seit #tan (60) = sqrt3 #wird dies # h / (rsqrt3) = sqrt3 # so # h = 3r #.

Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ist dann # 1 / 2bh #und seine Basis ist # 2rsqrt3 # und seine Höhe # 3r #. So ist seine Fläche # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Die Fläche des kleineren schattierten Bereichs entspricht einem Drittel der Fläche des gleichseitigen Dreiecks minus dem Inkreis # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # das ist äquivalent zu # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Die Fläche des größeren Kreises beträgt # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Die Fläche des größeren schattierten Bereichs beträgt ein Drittel der Fläche des größeren Kreises minus der Fläche des gleichseitigen Dreiecks oder # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # was vereinfacht zu sein # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Die Gesamtfläche des schattierten Bereichs beträgt dann # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi)) / 3) = pir ^ 2 #, was der Fläche des Inkreises entspricht.

Antworten:

Erläuterung:

Für ein gleichseitiges Dreieck Schwerpunkt, Kreismittelpunkt und Orthozentrum zusammenfallen.

Der Radius des Kreises (R) und der Radius des Inkreises (r) haben also folgende Beziehung

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Nun, aus der Figur ist es offensichtlich Bereich der BIG-Lila-schattierten Region# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

Und Bereich der kleinen lila schattierten Region# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

woher #Delta # repräsentiert die Fläche des gleichseitigen Dreiecks.

So

#color (purple) ("TOTAL-Bereich der großen und kleinen, lila schattierten Region" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Einfügen von R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-p ^ ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> Farbe (orange) "Bereich des gelben gestreiften Kreises" #