Sei S ein Quadrat der Einheitsfläche. Man betrachte jedes Viereck, das auf jeder Seite von S einen Scheitelpunkt hat. Wenn a, b, c und d die Längen der Seiten des Vierecks bezeichnen, beweise, dass 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 ist <= 4?

Lassen #A B C D# ein Quadrat der Einheitsfläche sein.

So # AB = BC = CD = DA = 1 # Einheit.

Lassen # PQRS # ein Viereck sein, das auf jeder Seite des Quadrats einen Scheitelpunkt hat. Hier lassen # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Mit Pythagoras thorem können wir schreiben

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Nun zu dem Problem, das wir haben

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Daher

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #