Antworten:
#(-9/14,3/28)#
Erläuterung:
Wir beginnen mit # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Dies ist weder Standard- noch Scheitelpunktform, und ich arbeite immer lieber mit einer dieser beiden Formen. Mein erster Schritt ist also, das obige Chaos in Standardform umzuwandeln. Wir tun das, indem wir die Gleichung ändern, bis sie aussieht # y = ax ^ 2 + bx + c #.
Zuerst beschäftigen wir uns mit # (x + 1) ^ 2 #. Wir schreiben es als neu # (x + 1) * (x + 1) #und vereinfachen Sie die Verwendung der Verteilung, die uns alle gibt # x ^ 2 + x + x + 1 #, oder # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Jetzt haben wir # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Wenn wir vereinfachen # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, das lässt uns mit # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Jetzt können wir Like-Terms kombinieren. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # gibt uns # 7x ^ 2 #, und # 6x + 3x # gleich # 9x #. Jetzt haben wir # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, die in Standardform ist. Fühlen Sie sich nicht zu bequem, denn wir werden konvertieren Das in nur einer Minute in eine Scheitelpunktform.
Um nach einer Scheitelpunktform zu suchen, werden wir das Quadrat ausfüllen. Wir könnten auch die quadratische Formel verwenden oder die Gleichung, die wir jetzt haben, grafisch darstellen, aber wo ist der Spaß dabei? Die Fertigstellung des Platzes ist schwieriger, aber es ist eine Methode, die es wert ist, gelernt zu werden, weil sie recht schnell ist, sobald Sie den Dreh raus haben. Lass uns anfangen.
Zuerst müssen wir bekommen # x ^ 2 # allein (keine Koeffizienten außer der Anzahl #1# dürfen). In unserem Fall müssen wir ein Faktor berücksichtigen #7# von allem. Das gibt uns # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Von hier aus müssen wir mittelfristig vorgehen # (9 / 7x) # und teilen Sie den Koeffizienten durch #2#, welches ist #9/14#. Dann platzieren wir uns Das und wir haben #81/196#. Wir fügen das unserer Gleichung hinzu: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
WARTEN!!! Wir haben nur eine Zufallszahl in die Gleichung gesteckt! Das können wir nicht machen! Wie können wir das beheben? Nun, was wäre, wenn wir … die gerade hinzugefügte Zahl abziehen würden? Dann hat sich der Wert nicht geändert #(81/196-81/196=0)#, also haben wir keine Regeln gebrochen, oder? Okay, lass uns das tun.
Jetzt haben wir # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Okay, wir sind jetzt gut. Trotzdem sollten wir weiter vereinfachen, weil # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # ist lang und schwerfällig. So, #-81/196+3/7# ist #3/196#und wir können umschreiben # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # wie # (x + 9/14) * (x + 9/14) #, oder # (x + 9/14) ^ 2 #. Sie fragen sich vielleicht, warum ich nicht kombiniert wurde #3/196# mit #81/196#. Nun, ich möchte ein perfektes Quadrat erstellen # (x + 9/14) ^ 2 #. Das ist eigentlich der springende Punkt, um den Platz fertigzustellen. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # war nicht faktorierbar, also fand ich die Zahl ((9/2) / 2 ^ 2), die es faktorierbar macht. Jetzt haben wir ein perfektes Quadrat, mit dem unbequemen, unvollkommenen Zeug am Ende.
So haben wir jetzt # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Wir sind fast fertig, aber wir können noch etwas tun: das verteilen #7# zu #3/196#. Das gibt uns # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #und wir haben jetzt unseren Scheitelpunkt! Von # 7 (x + Farbe (grün) (9/14)) ^ 2Farbe (rot) (+ 3/28) #bekommen wir beide #color (grün) (x) #-Wert und unser #color (rot) (y) #-Wert. Unser Scheitelpunkt ist # (Farbe (orange) (-) Farbe (grün) (9/14), Farbe (rot) (3/28)) #. Bitte beachten Sie, dass das Zeichen der #color (grün) (x) # Komponente ist Gegenteil des Zeichens innerhalb der Gleichung.
Um unsere Arbeit zu überprüfen, können wir einfach die Gleichung grafisch darstellen und den Scheitelpunkt auf diese Weise finden.
Graph {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Der Scheitelpunkt ist #(.643,.107)#, das ist die gerundete Dezimalform von #(-9/14, 3/28)#. Wir hatten recht Gut gemacht.
