Wie testen Sie die Konvergenz für 1 / ((2n + 1)!)?

Antworten:

In dem Fall meinten Sie "testen Sie die Konvergenz der Serie: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Die Antwort ist: es #Farbe (blau) "konvergiert" #

Erläuterung:

Um das herauszufinden, können wir den Ratio-Test verwenden.

Wenn ja #"Un"# ist der # n ^ "th" # Begriff dieser Serie

Dann zeigen wir das #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) <1 #

es bedeutet, dass die Reihe zusammenläuft

Zum anderen wenn #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" _ ("n" +1)) / "U" _n)> 1 #

es bedeutet, dass die serie divergiert

In unserem Fall

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# und

# "U" _ ("n" +1) = 1 / (2 (n + 1) +1!) = 1 / (2n + 3!) #

Daher, # "U" _ ("n + 1) / U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

#"Beachte das":#

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)! #

So wie: # 10! = 10xx9xx8! #

Wir ziehen ab #1# jedes Mal um das nächste zu bekommen

Also haben wir, (U n) (U n + 1) / U n ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Als nächstes testen wir

#lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) #

# = lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # und #0# ist weniger als #1#

Daher kann man mit Sicherheit die Serie abschließen #Farbe (blau) "konvergiert"! #