Was ist der Wert von? lim_ (x -> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Antworten:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Erläuterung:

Wir suchen:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Sowohl der Zähler als auch der Nenner 2 #rarr 0 # wie #x rarr 0 #. also die Grenze # L # (falls vorhanden) ist von unbestimmter Form #0/0#und folglich können wir die Regel von L'Hôpital anwenden, um zu erhalten:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Nun mit dem Fundamentalsatz des Kalküls:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Und,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Und so:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Wieder ist dies eine unbestimmte Form #0/0#und folglich können wir die Regel von L'Hôpital erneut anwenden, um zu erhalten:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Welche können wir auswerten:

# L = (0) / (2-0) = 0 #