Was sind die ungefähren Lösungen von 5x ^ 2 - 7x = 1, auf das nächste Hundertstel gerundet?

Subtrahieren #1# von beiden Seiten bekommen wir:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Das ist von der Form # ax ^ 2 + bx + c = 0 #mit #a = 5 #, #b = -7 # und #c = -1 #.

Die allgemeine Formel für die Wurzeln eines solchen Quadrats gibt uns:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + - Quadrat ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + - Quadrat (69)) / 10 #

# = 0.7 + - sqrt (69) / 10 #

Was ist eine gute Annäherung für #sqrt (69) #?

Wir könnten es in einen Taschenrechner stecken, aber lass es stattdessen mit Newton-Raphson von Hand machen:

#8^2 = 64#, so #8# scheint eine gute erste Annäherung zu sein.

Dann iterieren Sie mit der Formel:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Lassen # a_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8.3125 #

Dies ist fast sicher gut genug für die geforderte Genauigkeit.

So #sqrt (69) / 10 ~ = 8,3 / 10 = 0,83 #

#x ~ = 0,7 + - 0,83 #

Das ist #x ~ = 1.53 # oder #x ~ = -0.13 #

Umschreiben # 5x ^ 2-7x = 1 # in der Standardform von # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

geben

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Verwenden Sie dann die Quadratische Formel für Wurzeln:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

In diesem Fall

#x = (7 + - Quadrat (49 + 20)) / 10 #

Mit einem Taschenrechner:

#sqrt (69) = 8.306624 # (ungefähr)

So

# x = 15.306624 / 10 = 1,53 # (auf das nächste Hundertstel gerundet)

oder

#x = -1.306624 / 10 = -0.13 # (auf das nächste Hundertstel gerundet)