Wie würden Sie die Gleichung des Kreises bestimmen, der durch die Punkte D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15) geht?

Antworten:

Ersetzen Sie jeden Punkt durch die Gleichung des Kreises, entwickeln Sie 3 Gleichungen und ziehen Sie diejenigen ab, die mindestens eine gemeinsame Koordinate haben (# x # oder # y #).

Antwort ist:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Erläuterung:

Die Gleichung des Kreises:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Woher #α# #β# sind die Koordinaten des Kreismittelpunkts.

Ersatz für jeden gegebenen Punkt:

Punkt D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Gleichung 1)

Punkt E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Gleichung 2)

Punkt F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Gleichung 3)

Gleichungen subtrahieren #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Gleichungen subtrahieren #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Nun das #α# und #β# sind bekannt, ersetzen Sie sie in einem der Punkte (wir verwenden Punkt #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Die Gleichung des Kreises wird also:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Antworten:

Die Gleichung des Kreises lautet # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Erläuterung:

Zuerst müssen wir die Gleichung zweier Linien finden, von denen jede senkrecht zu den Segmenten steht, die von einem Paar der gegebenen Punkte gebildet werden und durch den Mittelpunkt dieses Punktpaares gehen.

Da die Punkte D und E (# x_D = x_E = -5 #) liegen in einer Linie parallel zur Achse-Y (# x = 0 #) und Punkte E und F (# y_E = y_F = 15 #) liegen in einer Linie parallel zur Achse-X (# y = 0 #) Es ist bequem, diese Punktepaare auszuwählen.

Gleichung der Zeile DE, wo # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Gleichung der Linie 1 senkrecht zu DE und durch den Mittelpunkt verlaufend #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

Linie 1# -> y = 5 #

Gleichung der Linie EF, wo # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Gleichung der Linie 2 senkrecht zu EF und durch den Mittelpunkt #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

Zeile 2# -> x = 5 #

Kombinieren der Gleichungen der Zeilen 1 und 2 (# y = 5 # und # x = 5 #) finden wir den Mittelpunkt des Kreises, Punkt C

#C (5,5) #

Der Abstand zwischen Punkt C zu einem der angegebenen Punkte ist gleich dem Radius des Kreises

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

In der Formel der Kreisgleichung:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #