Was ist die Summe der Wurzeln der Gleichung 4 ^ x - 3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0?

Gegebene Gleichung

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

Nehmen # 2 ^ x = y # die Gleichung wird

# => y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => y ^ 2-16y-8y + 128 = 0 #

# => y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (y-16) (y-8) = 0 #

So #y = 8 und y = 16 #

wann # y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

wann # y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

Wurzeln sind also # 3 und 4 #

Die Summe der Wurzeln ist also #=3+4=7#

Antworten:

#7#

Erläuterung:

Ob #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2- (a + b) x + ab #

das # x # Koeffizient ist die Summe der Wurzeln.

Im # (2 ^ x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # wir haben das

#24# ist die Summe von # r_1 # und # r_2 # so dass

# (2 ^ x-r_1) (2 ^ x-r_2) = 0 #

Auch haben wir # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # und

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

dann

# r_1 = 2 ^ 3-> x_1 = 3 # und

# r_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # so

# x_1 + x_2 = 7 #