Was ist der Unterschied zwischen dem Intermediate-Value-Theorem und dem Extremwert-Theorem?

Antworten:

Das Intermediate Value Theorem (IVT) gibt Funktionen an, die in einem Intervall fortlaufend sind # a, b # alle (Zwischen-) Werte zwischen ihren Extremen annehmen. Der Extremwertsatz (EVT) sagt Funktionen an, die kontinuierlich eingeschaltet sind # a, b # erreichen ihre extremen Werte (hoch und niedrig).

Erläuterung:

Hier ist eine Aussage des EVT: Let # f # kontinuierlich sein # a, b #. Dann gibt es Zahlen # c, d in a, b # so dass #f (c) leq f (x) leq f (d) # für alle #x in a, b #. Anders ausgedrückt, das "Supremum" # M # und "infimum" # m # des Bereichs # {f (x): x in a, b } # existieren (sie sind endlich) und es gibt Zahlen # c, d in a, b # so dass #f (c) = m # und #f (d) = M #.

Beachten Sie, dass die Funktion # f # muss ständig auf sein # a, b # für die Schlussfolgerung zu halten. Zum Beispiel wenn # f # ist eine solche Funktion #f (0) = 0,5 #, #f (x) = x # zum #0<>, und #f (1) = 0,5 #, dann # f # erreicht kein Maximum oder Minimum Wert #0,1#. (Das Supremum und das Infimum des Bereichs sind vorhanden (sie sind 1 bzw. 0), aber die Funktion erreicht diese Werte niemals (entspricht ihnen nie).)

Beachten Sie auch, dass das Intervall geschlossen werden muss. Die Funktion #f (x) = x # erreicht im offenen Intervall kein Maximum oder Minimum #(0,1)#. (Wiederum existieren das Supremum und das Infimum des Bereichs (sie sind 1 bzw. 0), aber die Funktion erreicht niemals diese Werte.)

Die Funktion #f (x) = 1 / x # erreicht auch keinen maximalen oder minimalen Wert im offenen Intervall #(0,1)#. Darüber hinaus existiert das Supremum des Bereichs nicht einmal als endliche Zahl (es ist "unendlich").

Hier ist eine Aussage des IVT: Let # f # kontinuierlich sein # a, b # und nehmen Sie an #f (a)! = f (b) #. Ob # v # ist eine beliebige Zahl zwischen #Fa)# und #f (b) #Dann gibt es eine Nummer #c in (a, b) # so dass #f (c) = v #. Darüber hinaus wenn # v # ist eine Zahl zwischen Supremum und Infimum des Bereichs # {f (x): x in a, b} #Dann gibt es eine Nummer #c in a, b # so dass #f (c) = v #.

Wenn Sie Bilder mit verschiedenen diskontinuierlichen Funktionen zeichnen, ist der Grund dafür klar # f # muss kontinuierlich sein, damit die IVT wahr ist.