Was sind die Extrema von f (x) = 3x-1 / sinx auf [pi / 2, (3pi) / 4]?

Antworten:

Das absolute Minimum auf der Domain liegt bei ca. # (pi / 2, 3.7124) #und das absolute Maximum der Domäne liegt bei ca. # (3pi / 4, 5,6544) #. Es gibt keine lokalen Extreme.

Erläuterung:

Bevor wir beginnen, müssen wir analysieren und prüfen, ob #sin x # nimmt einen Wert von #0# an jedem Punkt des Intervalls. #sin x # ist Null für alle x, so dass #x = npi #. # pi / 2 # und # 3pi / 4 # sind beide kleiner als #Pi# und größer als # 0pi = 0 #; somit, #sin x # nimmt hier nicht den Wert Null an.

Um dies festzustellen, erinnern Sie sich daran, dass entweder dort ein Extrem auftritt #f '(x) = 0 # (kritische Punkte) oder an einem der Endpunkte. Vor diesem Hintergrund nehmen wir die Ableitung des obigen f (x) und suchen nach Punkten, an denen diese Ableitung gleich 0 ist

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Wie sollen wir diesen letzten Begriff lösen?

Betrachten Sie kurz die wechselseitige Regel, das entwickelt wurde, um mit Situationen wie unserem letzten Begriff hier umzugehen, # d / (dx) (1 / sin x) #. Die reziproke Regel erlaubt es uns, die Ketten- oder Quotientenregel direkt zu umgehen, indem wir diese differenzierbare Funktion angeben #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

wann #g (x)! = 0 #

Um auf unsere Hauptgleichung zurückzukommen, haben wir aufgehört;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Schon seit #sin (x) # differenzierbar ist, können wir hier die gegenseitige Regel anwenden:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Wenn wir dies auf 0 setzen, kommen wir zu:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Dies kann nur vorkommen wenn #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Von hier aus kann es erforderlich sein, speziell eine der trigonometrischen Definitionen zu verwenden # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Dies ähnelt einem Polynom mit #cos x # ersetzt unser traditionelles x. So erklären wir #cos x = u # und…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Mit der quadratischen Formel hier …

# (1 + - Quadrat (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - Quadrat 37) / 6 #

Unsere Wurzeln kommen an #u = (1 + -sqrt37) / 6 # demzufolge. Eine dieser Wurzeln (# (1 + sqrt37) / 6 #) kann keine Wurzel für sein #cos x # weil die Wurzel größer als 1 ist, und # -1 <= cosx <= 1 # für alle x. Unsere zweite Wurzel hingegen berechnet als ungefähr #-.847127#. Dies ist jedoch weniger als der Mindestwert #cos x # Funktion kann auf dem Intervall (da #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Somit, Es gibt keinen kritischen Punkt in der Domäne.

Zu diesem Zweck müssen wir zu unseren Endpunkten zurückkehren und sie in die ursprüngliche Funktion bringen. Dadurch erhalten wir #f (pi / 2) ca. 3.7124, f (3pi / 4) ca. 5.6544 #

Daher ist unser absolutes Minimum auf der Domain ungefähr # (pi / 2, 3.7124), # und unser Maximum ist ungefähr # (3pi / 4, 5,6544) #