Sei RR die Menge der reellen Zahlen. Finden Sie alle Funktionen f: RR-> RR, wobei abs (f (x) - f (y)) = 2 erfüllt ist.

Sei RR die Menge der reellen Zahlen. Finden Sie alle Funktionen f: RR-> RR, wobei abs (f (x) - f (y)) = 2 erfüllt ist.
Anonim

Antworten:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Erläuterung:

Ob #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # dann #f (x) # ist Lipschitz kontinuierlich. Also die Funktion #f (x) # ist differenzierbar. Dann folgt

#abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # oder

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # jetzt

#lim_ (x -> y) abs ((f (x) - f (y)) / (xy)) = abs (lim - (x -> y) (f (x) - f (y)) / (xy))) = abs (f '(y)) = 2 #

so

#f (x) = pm 2 x + C_0 #