Welche Werte von m für welche Gleichung x (x-1) (x-2) (x-3) = m hat alle Wurzeln reelle Zahlen?

Antworten:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Erläuterung:

Wir haben das #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Jetzt machen

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # und Gleichungskoeffizienten, die wir bekommen

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0):} #

Lösen für #ABC# wir bekommen

# a = 3/2, b = -5 / 2, c = 1/16 (9-16m) # oder

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16m) = 0 #

Lösen Sie diese Gleichung für # x # wir bekommen

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Diese Wurzeln sind echt wenn # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # oder

#m le (5/4) ^ 2-1 #