Was ist die Quadratwurzel von 89?

Antworten:

Die Quadratwurzel von #89# ist eine Zahl, die beim Quadrat ergibt #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Erläuterung:

Schon seit #89# ist prime #sqrt (89) # kann nicht vereinfacht werden.

Sie können es mit einer Newton-Raphson-Methode approximieren.

Ich formuliere es gerne ein wenig wie folgt:

Lassen #n = 89 # die Zahl sein, von der die Quadratwurzel gewünscht wird.

Wählen # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # damit # p_0 / q_0 # ist eine vernünftige rationale Annäherung. Ich habe diese besonderen Werte seitdem gewählt #89# ist etwa auf halbem Weg dazwischen #9^2 = 81# und #10^2 = 100#.

Mit den Formeln iterieren:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Dies ergibt eine bessere rationale Annäherung.

So:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Wenn wir hier aufhören würden, würden wir eine Annäherung erhalten:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Gehen wir noch einen Schritt weiter:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Wir erhalten also eine Annäherung:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Diese Newton-Raphson-Methode konvergiert schnell.

#Farbe weiß)()#

Eigentlich eine ziemlich gute einfache Annäherung für #sqrt (89) # ist #500/53#, schon seit #500^2 = 250000# und #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Wenn wir einen Iterationsschritt darauf anwenden, erhalten wir eine bessere Annäherung:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#Farbe weiß)()#

Fußnote

Alle Quadratwurzeln positiver Ganzzahlen haben sich wiederholende fortlaufende Bruchdehnungen, die Sie auch verwenden können, um rationale Näherungen zu geben.

Im Fall von #sqrt (89) # Die fortgesetzte Fraktion Erweiterung ist ein bisschen chaotisch, also nicht so schön mit:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2))))) + …))))))) #

Die Annäherung #500/53# oben ist #9; 2, 3, 3, 2#