Das Quadrat der ersten zu zweimal der Sekunde hinzugefügten Zahl ist 5. Was sind die zwei ganzen Zahlen?

Antworten:

Es gibt unendlich viele Lösungen, wobei die einfachsten und einzigen positiven ganzzahligen Lösungen 1 und 2 sind.

Erläuterung:

Für alle #k in ZZ #

Lassen # m = 2k + 1 #

und # n = 2-2k-2k ^ 2 #

Dann:

# m ^ 2 + 2n #

# = (2k + 1) ^ 2 + 2 (2-2k-2k ^ 2) #

# = 4k ^ 2 + 4k + 1 + 4-4k-4k ^ 2 = 5 #

Antworten:

Wenn es sein soll aufeinanderfolgenden Ganzzahlen, dann ist die Lösung mit Negativen die erste #-3# und der zweite ist #-2#.

Die positive Lösung ist: zuerst ist #1# und zweitens ist #2#.

Erläuterung:

Angenommen, es handelt sich dabei um fortlaufende Ganzzahlen, und die kleinere Ganzzahl ist die erste. Dann können wir verwenden:

zuerst = # n # und zweitens = # n + 1 #

Das Quadrat des ersten ist # n ^ 2 # und zwei ist der zweite # 2 (n + 1) #, so bekommen wir die Gleichung:

# n ^ 2 + 2 (n + 1) = 5 #

(Beachten Sie, dass dies ist nicht eine lineare Gleichung. Es ist quadratisch.)

Lösen:

# n ^ 2 + 2 (n + 1) = 5 #

# n ^ 2 + 2n + 2 = 5 #

# n ^ 2 + 2n-3 = 0 #

# (n + 3) (n-1) = 0 #

# n + 3 = 0 # führt zu # n = -3 # und # n + 1 # = -2

Wenn wir die Antwort überprüfen, bekommen wir #(-3)^2+ 2(-2) = 9+(-4)=5#

# n-1 = 0 # führt zu # n = 1 # und # n + 1 # = 2

Wenn wir diese Antwort überprüfen, erhalten wir #(1)^2+2(2) = 1+4 =5#