Was ist die Taylorreihe von f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Lassen Sie uns einige Details betrachten.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Denken Sie daran, dass die geometrische Potenzreihe

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

Durch Ersetzen # x # durch # -x ^ 2 #, #Rechtspur 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

So, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Durch die Integration

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

indem Sie das Integralzeichen in die Summation einfügen, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

von Power Rule, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Schon seit #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rechtspfeil C = 0 #

Daher, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #