Die Anzahl der Möglichkeiten, mit denen ein Prüfer 30 Fragen zu 8 Fragen vergeben kann, die nicht weniger als 2 Punkte für jede Frage haben, ist?

Die Anzahl der Möglichkeiten, mit denen ein Prüfer 30 Fragen zu 8 Fragen vergeben kann, die nicht weniger als 2 Punkte für jede Frage haben, ist?
Anonim

Antworten:

#259459200#

Erläuterung:

Wenn ich dies richtig lese, dann, wenn der Prüfer Markierungen nur in Vielfachen von 2 vergeben kann. Dies würde bedeuten, dass es nur 15 Auswahlen aus den 30 Markierungen.i.e gibt. #30/2 = 15#

Dann haben wir 15 Auswahlmöglichkeiten für die 8 Fragen.

Verwendung der Formel für Permutationen:

# (n!) / ((n - r)!) #

Woher # n # ist die Anzahl der Objekte (in diesem Fall die Markierungen in 2er-Gruppen).

Und # r # wie viele auf einmal genommen werden (In diesem Fall die 8 Fragen)

Also haben wir:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Antworten:

Es gibt # "" _ 21C_14 # (oder 116.280) Wege.

Erläuterung:

Wir fangen mit 30 Mark in der "Bank" an. Da alle Fragen mindestens 2 Punkte wert sein müssen, nehmen wir an # 2 xx 8 = 16 # Marken von der #30# und verteilen sie gleich. Jetzt hat jede Frage 2 (bisher) und die "Bank" bleibt übrig #30-16=14# Marken.

Jetzt müssen wir nur die Anzahl der Möglichkeiten finden, die verbleibenden 14 Punkte unter den 8 Fragen aufzuteilen. Das mag zunächst sehr schwierig erscheinen, aber es gibt einen Trick, der es viel intuitiver macht.

Lassen Sie uns die Dinge für einen Moment vereinfachen. Was wäre, wenn wir nur 2 Fragen hätten und 14 Punkte zwischen ihnen aufteilen sollten? Wie viele Möglichkeiten können wir das machen? Nun, wir könnten die Markierungen als 14 + 0 oder 13 + 1 oder 12 + 2 usw. … oder 1 + 13 oder 0 + 14 aufteilen. Mit anderen Worten, wenn wir nur eine Aufteilung einführen müssen (Zwischen zwei Fragen haben wir 15 Möglichkeiten, dies zu tun.

Dies ist das gleiche wie die Frage: "Wie viele verschiedene Möglichkeiten können wir 14 gelbe Murmeln (die Markierungen) und 1 blauen Marmor (den Fragenteiler) hintereinander anordnen?" Die Antwort darauf wird gefunden, indem die Anzahl der Permutationen aller 15 Murmeln berechnet wird #15!#), dann dividiert durch die Anzahl der Möglichkeiten, um beide gelben Murmeln zu permutieren #(14!)# und blaue Murmeln #(1!)#, da es in jeder Anordnung egal ist, in welcher Reihenfolge die identischen Murmeln erscheinen.

Wenn also 14 gelbe Murmeln (Markierungen) und 1 blauer Marmor (Fragenteiler) vorhanden sind, gibt es dies

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Abbruch (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 Möglichkeiten zum Anordnen der Murmeln (teilen Sie die Markierungen). Hinweis: das ist gleich # "" _ 15C_14 #.

Lassen Sie uns einen weiteren blauen Marmor einführen, dh einen zweiten Spalt oder eine dritte Frage, der Sie die Noten geben sollen. Jetzt haben wir insgesamt 16 Murmeln und wir möchten wissen, wie viele einzigartige Möglichkeiten wir haben, um diese zu arrangieren. Ähnlich wie vorher nehmen wir die #16!# Wege, um alle Murmeln zu ordnen, dann teilen Sie sich durch die Wege, um beide gelben zu verteilen #(14!)# und die blauen #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Abbruch (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Es gibt also 120 Möglichkeiten, 14 Punkte zwischen 3 Fragen aufzuteilen. Das ist auch gleich # "" _ 16C_14 #.

Inzwischen können Sie feststellen, wohin wir gehen. Die Nummer links von # C # ist gleich der Anzahl der Marken, die wir teilen (gelbe Murmeln) Plus die Anzahl der Splitter (blaue Murmeln). Die Anzahl der Splitter ist immer eine weniger als die Anzahl der Fragen. Die Nummer rechts von # C # bleibt die Anzahl der Noten.

Um die verbleibenden 14 Punkte auf alle 8 Fragen aufzuteilen (was 7 Splitter erfordert), berechnen wir

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (weiß) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (weiß) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116.280" #

Es gibt also 116.280 Möglichkeiten, acht Fragen mit 30 Punkten zu versehen, wobei jede Frage mindestens 2 Punkte wert ist.