Wie teilen Sie (i + 3) / (-3i +7) in trigonometrischer Form auf?

Antworten:

# 0.311 + 0.275i #

Erläuterung:

Zuerst werde ich die Ausdrücke in der Form von umschreiben # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Für eine komplexe Nummer # z = a + bi #, # z = r (Costheta + Isintheta) #, woher:

• # r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
• # theta = tan ^ -1 (b / a) #

Lass uns anrufen # 3 + i # # z_1 # und # 7-3i # # z_2 #.

Zum # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + isin (0,32)) #

Zum # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Jedoch seit # 7-3i # ist im Quadranten 4, wir müssen ein positives Winkeläquivalent erhalten (der negative Winkel geht um den Kreis im Uhrzeigersinn und wir benötigen einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn).

Um ein positives Winkeläquivalent zu erhalten, fügen wir hinzu # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + isin (5,88)) #

Zum # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#color (weiß) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#color (weiß) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#color (weiß) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5.56) + isin (-5.56)) #

#color (weiß) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5,56) + isqrt (145) / 29sin (-5,56) #

#color (weiß) (z_1 / z_2) = 0,311 + 0,275i #

Beweis:

(3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i~~0.310+0.275i#