Liana hat 800 Meter Umzäunung, um einen rechteckigen Bereich einzuschließen. Wie maximieren Sie die Fläche?

Antworten:

Die Fläche kann maximiert werden, indem ein Quadrat der Seite eingezäunt wird #200# Yards

Erläuterung:

Bei gegebenem Umfang eines Rechtecks hat Quadrat die maximale Fläche (Beweis unten angegeben).

Lassen # x # einer der Seiten sein und #ein# Der Umfang wäre dann die andere Seite # a / 2-x # und Bereich wäre #x (a / 2-x) # oder # -x ^ 2 + ax / 2 #. Die Funktion ist Null, wenn die erste Ableitung der Funktion gleich Null ist und die zweite Ableitung negativ ist.

Als erste Ableitung gilt # -2x + a / 2 # und dies wird Null sein, wenn # -2x + a / 2 = 0 # oder # x = a / 4 #. Beachten Sie, dass die zweite Ableitung ist #-2#. Dann werden zwei Seiten sein # a / 4 # jeder der es wäre quadratisch.

Wenn der Umfang 800 Meter beträgt und es sich um ein Quadrat handelt, wäre dies eine Seite #800/4=200# Yards

Daher kann die Fläche maximiert werden, indem ein Quadrat der Seite eingezäunt wird #200# Yards

Angenommen, Sie haben 200 Meter Zaun, um ein rechteckiges Grundstück einzuschließen.Wie bestimmen Sie die Abmessungen des Diagramms, um die maximal mögliche Fläche einzuschließen?

Die Länge und Breite sollte für maximale Fläche jeweils 50 Fuß betragen. Die maximale Fläche für eine rechteckige Figur (mit festem Umfang) wird erreicht, wenn die Figur ein Quadrat ist. Dies impliziert, dass jede der 4 Seiten die gleiche Länge hat und (200 "Fuß") / 4 = 50 "Fuß" ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Wir wussten nicht oder erinnerten uns nicht an diese Tatsache: Wenn wir die Länge a und die Breite b angeben, dann Farbe (weiß) (

Nehmen wir an, ich habe 480 Dollar für einen Zaun in einem rechteckigen Garten. Die Umzäunung für die Nord- und Südseite des Gartens kostet 10 US-Dollar pro Fuß und die Umzäunung für die Ost- und Westseite 15 US-Dollar pro Fuß. Wie finde ich die Abmessungen des größtmöglichen Gartens?

Nennen wir die Länge der Seiten N und S x (Fuß) und die beiden anderen nennen wir y (auch in Fuß). Dann kostet der Zaun: 2 * x * $ 10 für N + S und 2 * y * $ 15 für E + W Dann lautet die Gleichung für die Gesamtkosten des Zaunes: 20x + 30y = 480 Wir trennen y ab: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Fläche: A = x * y, indem wir das y in der Gleichung ersetzen, erhalten wir: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Um das Maximum zu finden, müssen wir diese Funktion unterscheiden und dann die Ableitung auf setzen 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Was sich für x = 12 auflöst

Vierhundert Meter Umzäunung sind erforderlich, um ein quadratisches Feld zu umschließen. Welche Fläche kann von der gleichen Umzäunungslänge umschlossen werden, wenn das Gehäuse kreisförmig ist?

= 40000 / pi m ^ 2 ~ 12732.395 m ^ 2 Die Länge der Umzäunung beträgt 400 m. Wir müssen also die Fläche eines Kreises mit einem Umfang von ~ 400m finden. Beachten Sie, dass aufgrund der transzendentalen Natur von pi der genaue Wert nicht berechnet werden kann. 2 pir = 400 impliziert r = 200 / pi. Die Fläche eines Kreises ist gleich pir ^ 2 = pi (200 / pi) ^ 2 = pi (40000) / pi ^ 2 = 40000 / pi m ^ 2 ~ 12732.395 m ^ 2