Was ist die Fläche, die von 2x + 3y <= 6 umschlossen ist?

Antworten:

#A = 12 #

Erläuterung:

Der absolute Wert ist gegeben durch

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Daher sind hier vier Fälle zu berücksichtigen. Der Bereich eingeschlossen von # 2 | x | +3 | y | <= 6 # wird die von den vier verschiedenen Fällen eingeschlossene Fläche sein. Dies sind jeweils:

#diamond x> 0 und y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

Der Teil des Bereichs, den wir suchen, wird der durch die Grafik definierte Bereich sein

#y = 2-2 / 3x #

und die Achsen:

Da dies ein rechtwinkliges Dreieck mit Scheitelpunkten ist #(0,2)#, #(3,0)# und #(0,0)#, seine Beine werden Längen haben #2# und #3# und sein Bereich wird sein:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Der zweite Fall wird sein

#diamond x <0 und y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Wieder wird der benötigte Bereich durch den Graphen definiert # y = 2 + 2 / 3x # und die Achsen:

Dieser hat Scheitelpunkte #(0,2)#, #(-3,0)# und #(0,0)#, wieder mit langen Beinen #2# und #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Es gibt hier eindeutig eine Art Symmetrie. Analog ergibt das Lösen für die vier Bereiche das gleiche Ergebnis. Alle Dreiecke haben Fläche #3#. Als solches ist der Bereich eingeschlossen von

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

ist

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Wie oben zu sehen ist, ist die Form von beschrieben # 2 | x | +3 | y | <= 6 # ist eine Raute.