Warum ist das Quadrieren beider Seiten einer radikalen Gleichung eine irreversible Operation?

Antworten:

Siehe Erklärung …

Erläuterung:

Gegeben eine zu lösende Gleichung der Form:

# "linker Handausdruck" = "rechter Handausdruck" #

Wir können versuchen, das Problem durch Anwendung derselben Funktion zu vereinfachen #f (x) # zu beiden Seiten zu bekommen:

#f ("linker Handausdruck") = f ("rechter Handausdruck") #

Jede Lösung der ursprünglichen Gleichung wird eine Lösung dieser neuen Gleichung sein.

Beachten Sie jedoch, dass jede Lösung der neuen Gleichung eine Lösung der ursprünglichen sein kann oder nicht.

Ob #f (x) # ist eins zu eins - z. Multiplikation mit einer Nicht-Null-Konstante, Cubing, Addieren oder Subtrahieren derselben von beiden Seiten - dann werden die Lösungen der neuen Gleichung die Lösungen des Originals sein.

Im Falle von #f (x) = x ^ 2 #Wir haben eine Funktion, die nicht eins zu eins ist. Zum Beispiel #f (-x) = f (x) #. Die Lösungen der neuen Gleichung sind daher möglicherweise keine Lösungen der ursprünglichen.

Zum Beispiel gegeben:

#sqrt (2x + 1) = -sqrt (x + 3) #

Wir können beide Seiten der Gleichung quadrieren, um zu erhalten:

# 2x + 1 = x + 3 #

Diese neue Gleichung hat eine Lösung # x = 2 #, aber es ist keine Lösung der ursprünglichen Gleichung.