Wie vereinfacht man root3 (1)?

Antworten:

#1# oder #1^(1/3)# =#1#

Erläuterung:

Die würfelförmige Wurzel von 1 entspricht der Erhöhung von 1 zur Potenz von #1/3#. 1 zur Macht von irgendetwas ist immer noch 1.

Antworten:

Wir arbeiten in der Realität #wurzel 3 {1} = 1 #.

Jede komplexe Zahl ungleich Null hat drei Würfelwurzeln, also dort

#wurzel 3 {1} = 1 oder -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Erläuterung:

Wenn wir in reellen Zahlen arbeiten, merken wir nur #wurzel 3 {1} = Wurzel 3 {1 ^ 3} = 1 #. Ich gehe davon aus, dass es sich um komplexe Zahlen handelt.

Eines der seltsamen Dinge, die wir herausfinden, wenn wir uns mit komplexen Zahlen beschäftigen, ist die Funktion #f (z) = e ^ {z} # ist periodisch. Exponentielles Wachstum ist gewissermaßen das Gegenteil von periodisch, daher ist dies eine Überraschung.

Die entscheidende Tatsache ist die Identität von Euler. I nenne es Eulers wahre Identität.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Eulers wahre Identität zeigt # e ^ z # ist periodisch mit Punkt # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Wir können die wahre Identität von Euler zu jeder ganzzahligen Potenz erhöhen # k #:

# e ^ {2 pi ki} = 1 #

Was hat das alles mit der Würfelwurzel zu tun? Es ist der Schlüssel. Es sagt, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine zu schreiben. Einige von ihnen haben andere Würfelwurzeln als andere. Aus diesem Grund erzeugen nicht ganzzahlige Exponenten mehrere Werte.

Das ist alles ein großer Windup. Normalerweise beginne ich diese einfach mit dem Schreiben:

# e ^ {2pi k i} = 1 Quad # für eine ganze Zahl # k #

#wurzel 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Der letzte Schritt ist natürlich Eulers Formel # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Da haben wir die # 2pi # Periodizität der Triggerfunktionen (die sich aus der Periodizität der Exponential- und der Euler-Formel ergibt) haben wir nur für drei aufeinanderfolgende eindeutige Werte # k #s. Lassen Sie uns das für bewerten # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Wir erhalten also drei Werte für die Würfelwurzel von eins:

#wurzel 3 {1} = 1 oder -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #