Was ist eine Lösung für die Differentialgleichung dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Antworten:

Die allgemeine Lösung ist:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Erläuterung:

Wir haben:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Wir können Begriffe für ähnliche Variablen sammeln:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Was ist eine trennbare gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, so können wir "trenne die Variablen" bekommen:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Beide Integrale sind die von Standardfunktionen, sodass wir dieses Wissen nutzen können, um direkt zu integrieren:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Und wir können für leicht umordnen # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Zu der allgemeinen Lösung führen:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Antworten:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Erläuterung:

Dies ist eine trennbare Differentialgleichung, dh sie kann in folgender Form geschrieben werden:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Es kann durch die Integration beider Seiten gelöst werden:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

In unserem Fall müssen wir zuerst das Integral in die richtige Form trennen. Wir können dies tun, indem wir beide Seiten durch teilen # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Jetzt können wir beide Seiten integrieren:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Wir können das linke Handintegral mit einem Ersatz von lösen # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Das erneute Ersetzen (und Kombinieren von Konstanten) ergibt:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Beide Seiten mit multiplizieren # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Teilen Sie beide Seiten durch # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #