Wie lautet die Gleichung der Tangente von f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) bei x = -2?

Antworten:

Finden #f (-2) # und #f '(- 2) # Verwenden Sie dann die Tangentenlinienformel.

Die Gleichung des Tangens lautet:

# y = 167.56x + 223,21 #

Erläuterung:

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

Finden Sie die Ableitungsfunktion:

#f '(x) = (14x ^ 3)' - (4x ^ 2e ^ (3x)) '#

#f '(x) = 14 (x ^ 3)' - 4 (x ^ 2) 'e ^ (3x) + 4x ^ 2 (e ^ (3x))' #

#f '(x) = 14 * 3x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * (3x)' #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * 3 #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 12x ^ 2 * e ^ (3x) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

Finden #f (-2) #

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

#f (-2) = 14 * (- 2) ^ 3-4 * (-2) ^ 2e ^ (3 * (- 2)) #

#f (-2) = 32e ^ (- 6) -112 #

#f (-2) = 111,92 #

und #f '(- 2) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

#f '(- 2) = 42 * (- 2) ^ 2-8 * (- 2) e ^ (3 * (- 2)) 1 + 6 * (- 2) #

#f '(- 2) = 168-176e ^ (- 6) #

#f '(- 2) = 167.56 #

Nun die abgeleitete Definition:

#f '(x) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

Ob # x_0 = -2 #

#f '(- 2) = (y-f (-2)) / (x - (- 2)) #

# 167.56 = (y-111.92) / (x + 2) #

# 167.56 (x + 2) = y-111.92 #

# y = 167.56x + 167.56 * 2 + 111.92 #

# y = 167.56x + 223,21 #

Graph {14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) -227, 254, -214.3, 26.3}

Wie Sie oben sehen können, steigt der Graph für #x <0 # also ist die große Steigung eigentlich gerechtfertigt.

Hinweis: Wenn Sie keinen Taschenrechner benutzen dürfen, müssen Sie nur den Rechner mitnehmen #e ^ (- 6) # die ganze Zeit. Beachten Sie die Regeln für Befugnisse:

#e ^ (- 6) = 1 / e ^ 6 #

#e ^ (- 6) * e ^ (- 6) = (e ^ (- 6)) ^ 2 = e ^ (- 6 * 2) = e ^ (- 12) #