Was sind die lokalen Extrema von f (x) = (xlnx) ^ 2 / x, falls vorhanden?

Antworten:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) ca. 0.541 #

Erläuterung:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Anwenden der Produktregel

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Für lokale Maxima oder Minima: #f '(x) = 0 #

Lassen # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 oder z = -2 #

Daher für lokales Maximum oder Minimum:

#lnx = 0 oder lnx = -2 #

#:. x = 1 oder x = e ^ -2 ca. 0,135 #

Untersuchen Sie nun den Graphen von #x (lnx) ^ 2 # unten.

Graph {x (Inx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Wir können das vereinfacht beobachten #f (x) # hat ein lokales Minimum an # x = 1 # und ein lokales Maximum bei #x in (0, 0.25) #

Daher: #f_min = f (1) = 0 # und #f_max = f (e ^ (- 2)) ca. 0.541 #