Was sind die lokalen Extrema von f (x) = (lnx) ^ 2 / x, falls vorhanden?

Antworten:

Es gibt ein lokales Minimum von #0# beim #1#. (Welches ist auch global.) Und ein lokales Maximum von # 4 / e ^ 2 # beim # e ^ 2 #.

Erläuterung:

Zum #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #Beachten Sie zunächst, dass die Domäne von # f # ist die positive reelle Zahl, # (0, oo) #.

Dann finden

#f '(x) = (2 (Inx)) (1 / x) * x - (Inx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# f '# ist undefiniert um # x = 0 # das ist nicht in der Domäne von # f #Es ist also keine kritische Zahl für # f #.

#f '(x) = 0 # woher

# lnx = 0 # # # oder # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # oder # # # x = e ^ 2 #

Testen Sie die Intervalle #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, und # (e ^ 2, oo) #.

(Für Testnummern schlage ich vor # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - sich erinnern # 1 = e ^ 0 # und # e ^ x # nimmt zu.)

Wir glauben, dass # f '# ändert sich von negativ zu positiv, wenn wir passieren #1#, so #f (1) = 0 # ist ein lokales Minimum,

und das # f '# ändert sich von positiv zu negativ, wenn wir passieren # e ^ 2 #, so #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # ist ein lokales Maximum.