Die Zahl 90 ^ 9 hat 1900 verschiedene positive integrale Teiler. Wie viele davon sind Quadrate von ganzen Zahlen?

Antworten:

Wow - ich kann meine eigene Frage beantworten.

Erläuterung:

Es stellt sich heraus, dass der Ansatz eine Kombination aus Kombinatorik und Zahlentheorie ist. Wir beginnen mit dem Factoring #90^9# in seine Hauptfaktoren:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Der Trick besteht darin, herauszufinden, wie man Quadrate von ganzen Zahlen findet, was relativ einfach ist. Quadrate von Ganzzahlen können auf verschiedene Weise aus dieser Faktorisierung generiert werden:

#5^9*3^18*2^9#

Wir können das sehen #5^0#ist beispielsweise ein Quadrat aus einer ganzen Zahl und einem Divisor von #90^9#; Gleichfalls, #5^2#, #5^4#,#5^6#, und #5^8# Alle erfüllen auch diese Bedingungen. Daher haben wir 5 Möglichkeiten, einen Teiler von zu konfigurieren #90^9# Das ist ein Quadrat einer ganzen Zahl, die nur 5s verwendet.

Die gleiche Begründung gilt für #3^18# und #2^9#. Jede gerade Potenz dieser Primfaktoren - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 insgesamt) für 3 und 0, 2, 4, 6, 8 (5 insgesamt) für 2 - ist ein perfekter Platz, der ein Divisor von ist #90^9#. Außerdem, eine beliebige Kombination dieser Hauptteiler, die sogar Macht haben, erfüllt auch die Bedingungen. Zum Beispiel, #(2^2*5^2)^2# ist ein Quadrat einer ganzen Zahl, so wie sie ist #(3^8*2^4)^2#; und beide, bestehend aus Teilern von #90^9#sind auch Teiler von #90^9#.

Also die gewünschte Anzahl von Quadraten von ganzen Zahlen, die Teiler von sind #90^9# ist gegeben durch #5*10*5#Dies ist die Multiplikation der möglichen Auswahlmöglichkeiten für jeden Primfaktor (5 für 5, 10 für 3 und 5 für 2). Das ist gleich #250#, das ist die richtige Antwort.