Was ist eine rationale Funktion, die die folgenden Eigenschaften erfüllt: eine horizontale Asymptote bei y = 3 und eine vertikale Asymptote von x = -5?

Was ist eine rationale Funktion, die die folgenden Eigenschaften erfüllt: eine horizontale Asymptote bei y = 3 und eine vertikale Asymptote von x = -5?
Anonim

Antworten:

#f (x) = (3x) / (x + 5) #

Erläuterung:

Graph {(3x) / (x + 5) -23.33, 16.67, -5.12, 14.88}

Es gibt sicherlich viele Möglichkeiten, eine rationale Funktion zu schreiben, die die oben genannten Bedingungen erfüllt, aber dies war die einfachste, die ich mir vorstellen kann.

Um eine Funktion für eine bestimmte horizontale Linie zu bestimmen, müssen wir Folgendes berücksichtigen.

  1. Wenn der Grad des Nenners größer als der Zähler ist, ist die horizontale Asymptote die Linie #y = 0 #.

    Ex: #f (x) = x / (x ^ 2 + 2) #

  2. Wenn der Grad des Zählers größer als der Nenner ist, gibt es keine horizontale Asymptote.

    Ex: #f (x) = (x ^ 3 + 5) / (x ^ 2) #

  3. Wenn die Grade von Zähler und Nenner gleich sind, entspricht die horizontale Asymptote dem Leitkoeffizienten des Zählers, geteilt durch den Leitkoeffizienten des Nenners

    Ex: #f (x) = (6x ^ 2) / (2x ^ 2) #

Die dritte Aussage ist, was wir für dieses Beispiel beachten müssen, so dass unsere rationale Funktion sowohl im Zähler als auch im Nenner den gleichen Grad haben muss, aber auch der Quotient der Leitkoeffizienten musste gleich sein #3#.

Wie für die Funktion, die ich gab, #f (x) = (3x) / (x + 5) #

Sowohl der Zähler als auch der Nenner haben einen Grad von #1#Die horizontale Asymptote ist also der Quotient der führenden Koeffizienten des Zählers gegenüber dem Nenner: #3/1 = 3# das horizontale asymtopte ist also die linie # y = 3 #

Bei der vertikalen Asymptote ist zu berücksichtigen, dass alles, was im Diagramm wirklich bedeutet, unsere Funktion undefiniert ist. Da wir von einem rationalen Ausdruck sprechen, ist unsere Funktion undefiniert, wenn der Nenner gleich ist #0#.

Wie für die Funktion, die ich gab, #f (x) = (3x) / (x + 5) #

Wir setzen den Nenner auf #0# und lösen für # x #

# x + 5 = 0 -> x = -5 #

Unsere vertikale Asymptote ist also die Linie # x = -5 #

Im Wesentlichen hängt die horizontale Asymptote vom Grad des Zählers und des Nenners ab. Die vertikale Asymptote wird durch Setzen des Nenners auf festgelegt #0# und lösen für # x #