Wie löst man 1 + sinx = 2cos ^ 2x im Intervall 0 <= x <= 2pi?

Antworten:

Basierend auf zwei verschiedenen Fälle: #x = pi / 6, (5pi) / 6 oder (3pi) / 2 #

Unten finden Sie die Erklärung dieser beiden Fälle.

Erläuterung:

Schon seit, # cos ^ x + sin ^ 2 x = 1 #

wir haben: # cos ^ 2 x = 1 - sin ^ 2 x #

So können wir ersetzen # cos ^ 2 x # in der Gleichung # 1 + sinx = 2cos ^ 2x # durch # (1- sin ^ 2 x) #

# => 2 (1 - sin ^ 2 x) = sin x + 1 #

oder, # 2 - 2 sin ^ 2 x = sin x + 1 #

oder, # 0 = 2sin ^ 2 x + sin x + 1 - 2 #

oder, # 2sin ^ 2 x + sin x - 1 = 0 #

mit der quadratischen Formel:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) # für die quadratische Gleichung # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

wir haben:

#sin x = (-1 + - qrt (1 ^ 2 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2) #

oder, #sin x = (-1 + - Quadrat (1 + 8)) / 4 #

oder, #sin x = (-1 + -sqrt (9)) / 4 #

oder, #sin x = (-1 + -3) / 4 #

oder, #sin x = (-1 + 3) / 4, (-1-3) / 4 #

oder, #sin x = 1/2, -1 #

Fall I:

#sin x = 1/2 #

für die Bedingung: # 0 <= x <= 2pi #

wir haben:

# x = pi / 6 oder (5pi) / 6 # einen positiven Wert von # sinx #

Fall II:

#sin x = -1 #

wir haben:

# x = (3pi) / 2 # einen negativen Wert von # sinx #