Wie lautet die Gleichung der Parabel, die bei (7, 9) einen Scheitelpunkt hat und durch Punkt (0, 2) verläuft?

Antworten:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Erläuterung:

Dieses Problem erfordert, dass wir verstehen, wie eine Funktion verschoben und gedehnt werden kann, um bestimmte Parameter zu erfüllen. In diesem Fall ist unsere Grundfunktion #y = x ^ 2 #. Dies beschreibt eine Parabel mit einem Scheitelpunkt #(0,0)#. Wir können es jedoch erweitern als:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

In der grundlegendsten Situation:

#a = 1 #

#b = c = 0 #

Indem wir diese Konstanten verändern, können wir die Form und Position unserer Parabel kontrollieren. Wir beginnen mit dem Scheitelpunkt. Da wir wissen, muss es bei sein #(7,9)# Wir müssen die Standardparabel nach rechts verschieben #7# und bis vorbei #9#. Das bedeutet, das zu manipulieren # b # und # c # Parameter:

Offensichtlich #c = 9 # denn das wird alles bedeuten # y # Werte steigen um #9#. Aber weniger offensichtlich #b = -7 #. Dies liegt daran, wenn wir einen Faktor hinzufügen # x # Langfristig wird die Verschiebung diesem Faktor entgegenstehen. Das können wir hier sehen:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Wenn wir hinzufügen # b # zu # x #verschieben wir den Scheitelpunkt nach # -b # in dem # x # Richtung.

Unsere Parabel ist also bisher:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Aber wir müssen es strecken, um den Punkt zu passieren #(0,2)#. Dies ist so einfach wie das Einfügen dieser Werte:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Das heißt, unsere Parabel wird diese Gleichung haben:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #