Wie löse ich mit der Integration?

Antworten:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

Erläuterung:

Q ist der x-Achsenabschnitt der Linie # 2x + y = 15 #

Um diesen Punkt zu finden, lassen Sie # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

So # Q = (15 / 2,0) #

P ist ein Abfangpunkt zwischen der Kurve und der Linie.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# in #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # oder # x = 3 #

Aus dem Diagramm ist die x-Koordinate von P positiv, sodass wir dies ablehnen können # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

Graph {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Nun zur Gegend

Um die Gesamtfläche dieser Region zu ermitteln, können wir zwei Bereiche finden und zusammen hinzufügen.

Dies wird der Bereich unter sein # y = x ^ 2 # von 0 bis 3 und die Fläche unter der Linie von 3 bis 15/2.

# "Fläche unter Kurve" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Wir können den Bereich der Linie durch Integration ausarbeiten, aber es ist einfacher, sie wie ein Dreieck zu behandeln.

# "Bereich unter Linie" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "Gesamtfläche der schattierten Region" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Antworten:

Für 3 & 4

Tom ist fertig 10

Erläuterung:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Antworten:

Siehe unten:

Achtung: Lange Antwort!

Erläuterung:

Für 3):

Verwendung der Immobilie:

# int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ cf (x) dx + int_c ^ bf (x) dx #

Daher:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Für 4):

(gleiche Sache)

# int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ cf (x) dx + int_c ^ bf (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Wir müssen jedoch die Grenzen des Integrals austauschen, also:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

So:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Für 10 (a):

Wir haben zwei Funktionen, die sich an schneiden # P #so bei # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Ich habe die Linienfunktion in eine Steigungsschnittform gebracht)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

So # x = 3 # wie wir rechts von der # y # Achse, so #x> 0 #.

(Eingabe # x = 3 # in eine der Funktionen)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Also die Koordinate von # P # ist #(3,9)#

Zum # Q #, die Linie # y = -2x + 15 # schneidet die # y #-Achse, so # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

So # Q # liegt bei #(7.5, 0)#

Für 10 (b).

Ich werde zwei Integrale konstruieren, um das Gebiet zu finden. Ich werde die Integrale separat lösen.

Das Gebiet ist:

# int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ cf (x) dx + int_c ^ bf (x) dx #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Erstes Integral lösen)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(Setzen Sie die Grenzen in den integrierten Ausdruck ein, denken Sie daran:

Obere untere Grenze um den Wert von Integral zu finden)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(zweites Integral lösen)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(Ersatzgrenzen: Oben / Unten)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Qf (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #