Was ist der Abstand zwischen (0, 0, 8) und (9, 2, 0)?

Antworten:

Die Entfernung beträgt #sqrt (149) #

Erläuterung:

Der Abstand zwischen zwei Punkten

# (x_1, y_1, z_1) #

und

# (x_2, y_2, z_2) #

im # RR ^ 3 # (drei Dimensionen) ist gegeben durch

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Wenn wir es auf das anstehende Problem anwenden, bekommen wir die Entfernung dazwischen #(0, 0, 8)# und #(9, 2, 0)# wie

# "Abstand" = Quadrat ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = Quadrat (81 + 4 + 64) = Quadrat (149) #

Das Folgende ist eine Erklärung, woher die Entfernungsformel kommt und ist nicht notwendig, um die obige Lösung zu verstehen.

Die oben angegebene Entfernungsformel ähnelt der Entfernungsformel in # RR ^ 2 # (Zwei Dimensionen):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Dies kommt von einer einfachen Anwendung des Satzes von Pythagoras, indem ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei parallelen Beinen zwischen zwei Punkten gezeichnet wird # x # und # y # Achsen.

Es stellt sich heraus, die # RR ^ 3 # Version kann auf ähnliche Weise abgeleitet werden. Wenn wir (höchstens) 3 Linien verwenden, um zwei Punkte zu verbinden, gehen Sie parallel zum Punkt # x #, # y #, und # z # Achsen erhalten wir eine Box mit den Punkten als gegenüberliegende Ecken. Lassen Sie uns herausfinden, wie Sie den Abstand über die Diagonale einer Box berechnen.

Wir versuchen die Länge der roten Linie herauszufinden #Farbe (rot) (AD) #

Da dies die Hypotenuse des Dreiecks ist # ABD #, aus dem Satz des Pythagoras:

# (Farbe (rot) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (Farbe (blau) (BC)) ^ 2 #

# => Farbe (rot) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (Farbe (blau) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Leider haben wir nicht die Länge von #Farbe (blau) (BD) # als gegeben. Um es zu bekommen, müssen wir den Satz des Pythagoras erneut auf dieses Dreieck anwenden # BCD #.

# (Farbe (blau) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Da brauchen wir nur das Quadrat von #Farbe (blau) (BD) #können wir jetzt ersetzen # ("ii") # in #("ich")#:

#color (rot) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Schließlich, wenn wir haben #EIN# beim # (x_1, y_1, z_1) # und # D # beim # (x_2, y_2, z_2) #Dann haben wir die Längen

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Wenn Sie diese in das Obige einsetzen, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.

Als zusätzliche Anmerkung, während wir geometrische Beweise in bis zu drei Dimensionen nur leicht machen können, haben Mathematiker eine allgemeine Entfernung # RR ^ n # (# n # Maße). Der Abstand zwischen

# (x_1, x_2, …, x_n) # und # (y_1, y_2, …, y_n) # ist definiert als

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

welches dem Muster von entspricht # RR ^ 2 # und # RR ^ 3 #.